Ekstrema funkcji wielu zmiennych

[elmirka]

Mam takie małe zadanie:

Wśród wszystkich n-kątów wpisanych w dane koło o promieniu R znaleźć ten, którego pole jest największe.

Byłabym wdzieczna za pomoc


_____
Przeniosłem z "Analiza wyższa"
[bolo]

[Fibik]

Największe pole masz dla n = nieskończoność, czyli będzie to... koło o promieniu R.

[bolo]

elmirka - te n-kąty mają być foremne? Jeżeli tak, to wersja użytkownika Fibik jest w zasadzie już rozwiązaniem rozwiązania i nie ma co tu dalej dumać nad zadaniem.

[Anatol]

Od kiedy to koło jest wielokątem?

Taki wielokąt nie istnieje.

[bolo]

Racja, jako figura to nadal pozostanie to n-kątem. Co do pola to można powiedzieć, że będzie ono dążyło do pola powierzchni danego koła. Jednak ważne jest też, czy jest to wielokąt foremny. Tzn. chciałbym wykluczyć np. taką sytuację, że są 2 boki tego wielokąta o długościach prawie średnicy okręgu, a do tego jest bardzo wiele bardzo króciutkich boków.

[ap]

W zadaniu chodzi o to, że \(\displaystyle{ n}\) jest ustalone - trzeba właśnie wykazać, że największe pole wśród \(\displaystyle{ n}\)-kątów wpisanych w dane koło ma \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny.
Powinno pójść przez podział na trójkąty równoramienne o ramieniu \(\displaystyle{ R}\) + nier. Jensena na sinusie.

[Fibik]

Pole n-kąta wpisanego w koło o promieniu r:
\(\displaystyle{ 2S = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)}}\)oraz:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\phi_k} = 2\pi}\)
Szukamy ekstremum:
\(\displaystyle{ L = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)} + \lambda(\bigsum_k^n{\phi_k} - 2\pi)}\)

pochodne muszą się zerować:
\(\displaystyle{ L_\phi_k = r^2\cos(\phi_k) + \lambda = 0}\)
czyli: \(\displaystyle{ \phi_k = \arccos(-\frac{\lambda}{r^2})}\)

suma kątów wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\), czyli:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\arccos(-\frac{\lambda}{r^2})} = n\cdot\arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = 2\pi}\)
zatem: \(\displaystyle{ \arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = \frac{2\pi}{n} \to \lambda = -r^2\cos{\frac{2\pi}{n}}}\)

wstawiając to wzoru na kąty (wyżej):
\(\displaystyle{ \large \phi_k = \arccos(-r^2\frac{\cos{\frac{2\pi}{n}}}{r^2}) = \frac{2\pi}{n}}\)
Czyli wszystkie kąty są równe, zatem są to wielokąty foremne.
Jest to maksimum:
\(\displaystyle{ \phi^T\Delta L\phi = -r^2\bigsum_k\phi_k^2\sin(\phi_k) < 0}\)

[juzef]

To chyba jest pole dwóch n-kątów.

[Fibik]

Tak - pole dwóch, ale już całkiem pojedynczych.
Zauważ, jeszcze, jak brzydko wygląda zapis nazw funkcji arccos, cos, itp. - a to już nie moja wina.

[elmirka]

Do tego tez już doszłam, tylko pojawił się inny dość poważny problem. Ten dowód ma sens tylko w momencie, gdy najpierw udowodnimy, że środek koła należy do wnętrza naszego n-kąta. I tu pojawił się mój zasadniczy problem. Doszłam do wniosku ze, jeżeli udowodnię, że środek koła należy do wnętrza n-kąta foremnego(zakładam, że nie wiem jeszcze, że jest on moim szukanym n-kątem), to musi, zatem należeć do wnętrza mojego szukanego n-kąta. Czyli wystarczy pokazać, że pole n-kąta foremnego jest większe od połowy pola koła i tu nie wiem jak mam udowodnić nierówność, że:

\(\displaystyle{ nsin\frac{2\pi}{n}>\pi}\)

[juzef]

Dla trójkąta łatwo sprawdzić. Jeśli \(\displaystyle{ n\geq4}\), to \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}\leq\frac{\pi}{2}}\) i na mocy otrzymujemy \(\displaystyle{ n\cdot \sin \frac{2\pi}{n}\geq n\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{2\pi}{n}=4>\pi}\).

[elmirka]

Dzięki za pomoc.