Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Mam takie małe zadanie:
Wśród wszystkich n-kątów wpisanych w dane koło o promieniu R znaleźć ten, którego pole jest największe.
Byłabym wdzieczna za pomoc
_____
Przeniosłem z "Analiza wyższa"
[bolo]
Wśród wszystkich n-kątów wpisanych w dane koło o promieniu R znaleźć ten, którego pole jest największe.
Byłabym wdzieczna za pomoc
_____
Przeniosłem z "Analiza wyższa"
[bolo]
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
elmirka - te n-kąty mają być foremne? Jeżeli tak, to wersja użytkownika Fibik jest w zasadzie już rozwiązaniem rozwiązania i nie ma co tu dalej dumać nad zadaniem.
- bolo
- Użytkownik
- Posty: 2470
- Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BW
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 191 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Racja, jako figura to nadal pozostanie to n-kątem. Co do pola to można powiedzieć, że będzie ono dążyło do pola powierzchni danego koła. Jednak ważne jest też, czy jest to wielokąt foremny. Tzn. chciałbym wykluczyć np. taką sytuację, że są 2 boki tego wielokąta o długościach prawie średnicy okręgu, a do tego jest bardzo wiele bardzo króciutkich boków.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 mar 2005, o 11:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: T3
- Pomógł: 10 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
W zadaniu chodzi o to, że \(\displaystyle{ n}\) jest ustalone - trzeba właśnie wykazać, że największe pole wśród \(\displaystyle{ n}\)-kątów wpisanych w dane koło ma \(\displaystyle{ n}\)-kąt foremny.
Powinno pójść przez podział na trójkąty równoramienne o ramieniu \(\displaystyle{ R}\) + nier. Jensena na sinusie.
Powinno pójść przez podział na trójkąty równoramienne o ramieniu \(\displaystyle{ R}\) + nier. Jensena na sinusie.
-
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Pole n-kąta wpisanego w koło o promieniu r:
\(\displaystyle{ 2S = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)}}\)oraz:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\phi_k} = 2\pi}\)
Szukamy ekstremum:
\(\displaystyle{ L = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)} + \lambda(\bigsum_k^n{\phi_k} - 2\pi)}\)
pochodne muszą się zerować:
\(\displaystyle{ L_\phi_k = r^2\cos(\phi_k) + \lambda = 0}\)
czyli: \(\displaystyle{ \phi_k = \arccos(-\frac{\lambda}{r^2})}\)
suma kątów wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\), czyli:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\arccos(-\frac{\lambda}{r^2})} = n\cdot\arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = 2\pi}\)
zatem: \(\displaystyle{ \arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = \frac{2\pi}{n} \to \lambda = -r^2\cos{\frac{2\pi}{n}}}\)
wstawiając to wzoru na kąty (wyżej):
\(\displaystyle{ \large \phi_k = \arccos(-r^2\frac{\cos{\frac{2\pi}{n}}}{r^2}) = \frac{2\pi}{n}}\)
Czyli wszystkie kąty są równe, zatem są to wielokąty foremne.
Jest to maksimum:
\(\displaystyle{ \phi^T\Delta L\phi = -r^2\bigsum_k\phi_k^2\sin(\phi_k) < 0}\)
\(\displaystyle{ 2S = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)}}\)oraz:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\phi_k} = 2\pi}\)
Szukamy ekstremum:
\(\displaystyle{ L = \bigsum_k^n{r^2\sin(\phi_k)} + \lambda(\bigsum_k^n{\phi_k} - 2\pi)}\)
pochodne muszą się zerować:
\(\displaystyle{ L_\phi_k = r^2\cos(\phi_k) + \lambda = 0}\)
czyli: \(\displaystyle{ \phi_k = \arccos(-\frac{\lambda}{r^2})}\)
suma kątów wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\), czyli:
\(\displaystyle{ \bigsum_k^n{\arccos(-\frac{\lambda}{r^2})} = n\cdot\arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = 2\pi}\)
zatem: \(\displaystyle{ \arccos(-\frac{\lambda}{r^2}) = \frac{2\pi}{n} \to \lambda = -r^2\cos{\frac{2\pi}{n}}}\)
wstawiając to wzoru na kąty (wyżej):
\(\displaystyle{ \large \phi_k = \arccos(-r^2\frac{\cos{\frac{2\pi}{n}}}{r^2}) = \frac{2\pi}{n}}\)
Czyli wszystkie kąty są równe, zatem są to wielokąty foremne.
Jest to maksimum:
\(\displaystyle{ \phi^T\Delta L\phi = -r^2\bigsum_k\phi_k^2\sin(\phi_k) < 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 75 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Tak - pole dwóch, ale już całkiem pojedynczych.
Zauważ, jeszcze, jak brzydko wygląda zapis nazw funkcji arccos, cos, itp. - a to już nie moja wina.
Zauważ, jeszcze, jak brzydko wygląda zapis nazw funkcji arccos, cos, itp. - a to już nie moja wina.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Do tego tez już doszłam, tylko pojawił się inny dość poważny problem. Ten dowód ma sens tylko w momencie, gdy najpierw udowodnimy, że środek koła należy do wnętrza naszego n-kąta. I tu pojawił się mój zasadniczy problem. Doszłam do wniosku ze, jeżeli udowodnię, że środek koła należy do wnętrza n-kąta foremnego(zakładam, że nie wiem jeszcze, że jest on moim szukanym n-kątem), to musi, zatem należeć do wnętrza mojego szukanego n-kąta. Czyli wystarczy pokazać, że pole n-kąta foremnego jest większe od połowy pola koła i tu nie wiem jak mam udowodnić nierówność, że:
\(\displaystyle{ nsin\frac{2\pi}{n}>\pi}\)
\(\displaystyle{ nsin\frac{2\pi}{n}>\pi}\)
- juzef
- Użytkownik
- Posty: 890
- Rejestracja: 29 cze 2005, o 22:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Pomógł: 66 razy
Ekstrema funkcji wielu zmiennych
Dla trójkąta łatwo sprawdzić. Jeśli \(\displaystyle{ n\geq4}\), to \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}\leq\frac{\pi}{2}}\) i na mocy otrzymujemy \(\displaystyle{ n\cdot \sin \frac{2\pi}{n}\geq n\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{2\pi}{n}=4>\pi}\).