Długości boków równoległoboku
Długości boków równoległoboku
Witam!
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1. Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości, która została opuszczona na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku, skoro wiadomo, że pole wynosi 10 i \(\displaystyle{ sin\alpha}\) jest kątem ostrym równoległoboku.
2.Długości boków i przekątnej prostokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.
3.W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB, która przecięła boki AC, BC odpowiednio w punktach D, E. Oblicz obwód trójkąta DEC, jeśli wiadomo, że |AB|=12, |AC|=6, |BC|=10, a pole trójkąta DEC jest równe \(\displaystyle{ 2\sqrt{14}}\).
4.Dany jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(\displaystyle{ 120^{o}}\). Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka podstawy na ramię ma długość \(\displaystyle{ 10\sqrt{3}}\). Oblicz obwód tego trójkąta.
5.Długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku C jest równa a, a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz stosunek długości środkowej trójkąta względem przeciwprostokątnej do wysokości tego trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną.
Dziękuję z góry!
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1. Długość boku równoległoboku jest o 3 większa od wysokości, która została opuszczona na ten bok. Wyznacz długości boków równoległoboku, skoro wiadomo, że pole wynosi 10 i \(\displaystyle{ sin\alpha}\) jest kątem ostrym równoległoboku.
2.Długości boków i przekątnej prostokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.
3.W trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB, która przecięła boki AC, BC odpowiednio w punktach D, E. Oblicz obwód trójkąta DEC, jeśli wiadomo, że |AB|=12, |AC|=6, |BC|=10, a pole trójkąta DEC jest równe \(\displaystyle{ 2\sqrt{14}}\).
4.Dany jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami \(\displaystyle{ 120^{o}}\). Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka podstawy na ramię ma długość \(\displaystyle{ 10\sqrt{3}}\). Oblicz obwód tego trójkąta.
5.Długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym przy wierzchołku C jest równa a, a kąt leżący naprzeciwko niej ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz stosunek długości środkowej trójkąta względem przeciwprostokątnej do wysokości tego trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną.
Dziękuję z góry!
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Długości boków równoległoboku
Zad. 1
\(\displaystyle{ P=h(h+3)=10}\)
\(\displaystyle{ h^2+3h-10=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9+40=49}\)
\(\displaystyle{ h_1=2}\)
\(\displaystyle{ h_2=-5}\) (nie bierzemy tego rozwiązania bo wysokość nie może mieć ujemnej długości)
Zatem jeden bok ma długość \(\displaystyle{ a=2+3=5}\)
Drugi bok:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{2}{sin\alpha}}\)
Zad. 3
z wzoru Herona policzymy pole ABC
\(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\) gdzie p to połowa obwodu
\(\displaystyle{ p=14}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}= \sqrt{14 \cdot2 \cdot 4 \cdot 8 } =8 \sqrt{14}}\)
Trójkąty ABC i DEC są podobne, policzymy skale podobieństwa z pól:
\(\displaystyle{ k^2= \frac{P_{DEC}}{P_{ABC}}= \frac{2\sqrt{14}}{8\sqrt{14}}= \frac{1}{4}}\)
Skala podobieństwa \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\)
Zatem bok AC jest dwa razy dłuższy niż DC, AB niż DE a BC niż EC
Zad. 4
w trójkącie prostokątnym ABD liczysz z sinusa \(\displaystyle{ 30^0}\) długość boku AB, w trójkącie prostokątnym BCD liczysz z sinusa \(\displaystyle{ 60^0}\) długość ramienia BC (|BC|=|AC|)
\(\displaystyle{ P=h(h+3)=10}\)
\(\displaystyle{ h^2+3h-10=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=9+40=49}\)
\(\displaystyle{ h_1=2}\)
\(\displaystyle{ h_2=-5}\) (nie bierzemy tego rozwiązania bo wysokość nie może mieć ujemnej długości)
Zatem jeden bok ma długość \(\displaystyle{ a=2+3=5}\)
Drugi bok:
\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{2}{sin\alpha}}\)
Zad. 3
Kod: Zaznacz cały
http://odsiebie.com
z wzoru Herona policzymy pole ABC
\(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\) gdzie p to połowa obwodu
\(\displaystyle{ p=14}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}= \sqrt{14 \cdot2 \cdot 4 \cdot 8 } =8 \sqrt{14}}\)
Trójkąty ABC i DEC są podobne, policzymy skale podobieństwa z pól:
\(\displaystyle{ k^2= \frac{P_{DEC}}{P_{ABC}}= \frac{2\sqrt{14}}{8\sqrt{14}}= \frac{1}{4}}\)
Skala podobieństwa \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\)
Zatem bok AC jest dwa razy dłuższy niż DC, AB niż DE a BC niż EC
Zad. 4
w trójkącie prostokątnym ABD liczysz z sinusa \(\displaystyle{ 30^0}\) długość boku AB, w trójkącie prostokątnym BCD liczysz z sinusa \(\displaystyle{ 60^0}\) długość ramienia BC (|BC|=|AC|)
-
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Długości boków równoległoboku
Moim zdaniem zadanie 4 jest wykonane błędznie.
Zaraz moja wersja
Mogę się mylić-- 27 stycznia 2009, 00:14 --Wydaje mi się że zadanie 4 będzie wyglądać tak:
Gdzie, może na rysunku nie widać tego, ale trójkąt \(\displaystyle{ CBD}\) jest równoboczny, więc ramiona trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają długość \(\displaystyle{ 10\sqrt3}\)..
Dalej już chyba nie będzie problemu wyliczenia pola tego trójkąta, mając dane kąty trójkąta i długość jego ramienia..
Pozdrawiam )
Zaraz moja wersja
Mogę się mylić-- 27 stycznia 2009, 00:14 --Wydaje mi się że zadanie 4 będzie wyglądać tak:
Gdzie, może na rysunku nie widać tego, ale trójkąt \(\displaystyle{ CBD}\) jest równoboczny, więc ramiona trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mają długość \(\displaystyle{ 10\sqrt3}\)..
Dalej już chyba nie będzie problemu wyliczenia pola tego trójkąta, mając dane kąty trójkąta i długość jego ramienia..
Pozdrawiam )
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Długości boków równoległoboku
AZS06, tylko gdzie w takim razie jest zaznaczona wysokość z treści zadania?
-
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Długości boków równoległoboku
"Wysokość trójkąta.."
Więc chodzi pewnie o którąś wysokość z trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)..
Z racji, ze jest to trójkąt rozwartokątny, więc dwie z trzech wysokości znajduje się poza trójkątem i "lądują" na przedłużeniach boków..
Więc chodzi pewnie o którąś wysokość z trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)..
Z racji, ze jest to trójkąt rozwartokątny, więc dwie z trzech wysokości znajduje się poza trójkątem i "lądują" na przedłużeniach boków..
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Długości boków równoległoboku
dokładnie , dodatkowo wysokość pada pod kątem prostym na dany bokAZS06 pisze:Z racji, ze jest to trójkąt rozwartokątny, więc dwie z trzech wysokości znajduje się poza trójkątem i "lądują" na przedłużeniach boków..
Na Twoim rysunku nie ma tego kąta prostego...
-
- Użytkownik
- Posty: 353
- Rejestracja: 15 kwie 2008, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd :)
- Podziękował: 125 razy
- Pomógł: 19 razy
Długości boków równoległoboku
W ramach rekompensaty pozwolę sobie doliczyć to zadanie 4 do końca, mam nadzieje, że tym razem się nie pomylę
\(\displaystyle{ \sin60^\circ = \frac{10\sqrt3}{CB}}\)
\(\displaystyle{ CB = 20}\)
\(\displaystyle{ \cos30^\circ = \frac{\frac{AB}{2}}{20}}\)
\(\displaystyle{ AB = 20\sqrt3}\)
Więc obwód trójkąta = \(\displaystyle{ 2*20 + 20\sqrt3 = 40 + 20\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ \sin60^\circ = \frac{10\sqrt3}{CB}}\)
\(\displaystyle{ CB = 20}\)
\(\displaystyle{ \cos30^\circ = \frac{\frac{AB}{2}}{20}}\)
\(\displaystyle{ AB = 20\sqrt3}\)
Więc obwód trójkąta = \(\displaystyle{ 2*20 + 20\sqrt3 = 40 + 20\sqrt3}\)