Okrą opisany na czworokącie i wpisany w czworokąt

[tenshim]

Hejka. Mam taki mały problem z jednym zadaniem. Siedzę i siedzę nad tym i nic nie mogę wymyślić... Byłabym wdzięczna za pomoc
Oto treść zadania: Długości boków czworokąta, w który mozna wpisac okrag i na ktorym mozna opisac okrag sa rowne a,b,c,d. Wykaz, ze pole tego czworokata jest rowne : pierwiastek z abcd.

[patry93]

tenshim - powiem Ci, że to zadanie jest troszkę wkurzające, bo siedziałem dobrą godzinę nad tym i nic, a nagle przypomniał mi się jeden wzór i sprawa chyba załatwiona
Skoro czworokąt jest opisany na okręgu, to mamy a+c=b+d.
Skoro jest również wpisany w okrąg, to możemy wykorzystać wzór na pole \(\displaystyle{ P = \sqrt{ (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) }}\), gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2} (a+b+c+d) = \frac{1}{2} (a+c+a+c) = \frac{1}{2} (b+d+b+d) = a+c = b+d}\)
Mamy więc: \(\displaystyle{ P = \sqrt{ (a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d) } = \sqrt{abcd}}\) cóż należało dowieść
Ciekaw jestem jak można by zrobić to zadanie bez tego wzoru z pierwiastkiem Bo ja tak na początku próbowałem

[snm]

Zapewne robiąc to uzyskasz rozumowanie analogiczne do dowodu wzoru Brahmagupty

[tenshim]

Dziękuję Wam

[ImpactOfShadow]

Tak się akurat składa, że to ja prosiłem tenshim o umieszczenie tu tego zadania i na lekcji następnej matematyk zapytał koleżankę i gdy ona rozwiązała to zadnie właśnie wymienionym wyżej wzorem ( tak zrobiła cała klasa w tym ja) to zaznaczył, że ma je zrobić bez tego wzoru:). Więc muszę przyznać, że powyższe rozwiązanie nie jest zbyt satysfakcjonujące:P.
To zadanie na poziomie klasy 2 LO więc nie sądziłem, że sprawi aż takie problemy:P

Ma ktoś jakiś inny pomysł??

[chlorofil]

Zawsze może sobie owy wzór z pierwiastkiem wyprowadzić, choć wyprowadzenie go jest pracochłonne:



Bez tego wzoru nie potrafię rozwiązać tego zadania, ale może ktoś widzi jakiś sposób? Bardzo chętnie bym się dowiedział.

[anna_]

Da się, tyle, że życzę cierpliwości w obliczeniach.

\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między b i c

Z twierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ e^2=b^2+c^2-2bccos\alpha}\)
\(\displaystyle{ e^2=a^2+d^2+2adcos\alpha}\)
\(\displaystyle{ b^2+c^2-2bccos\alpha=a^2+d^2+2adcos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2-d^2}{2(bc+ad)}}\)

Z jedynki trygonometrycznej liczysz \(\displaystyle{ sin\alpha}\) i wykorzystujesz zależność \(\displaystyle{ a+c=b+d}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{sin\alpha}{2} (bc+ad)}\)

[chlorofil]

Fajne rozwiązanie. Mam wrażenie, że jednak prostsze będą te rachunki niż przy wyprowadzaniu tego wzoru z pierwiastkiem.