Witam. Mam kłopot z następującym zadaniem:
Na prostokącie o bokach długości a i b opisano okrąg. Wykaż ,że suma kwadratów odległości każdego punktu tego okręgu od prostych zawierających boki prostokąta wynosi a^{2} + b^{2}.
Z góry dzięki za każdą pomoc
Okrąg opisany na prostokącie.
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Okrąg opisany na prostokącie.
\(\displaystyle{ \leftarrow}\)kliknij
Mamy wykazać, że
\(\displaystyle{ (a-y)^2+y^2+x^2+(b+x)^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \Delta ACP}\) jest prostokątny (\(\displaystyle{ | \sphericalangle APC|=90^o}\) - kąt wpisany oparty na półokręgu)
\(\displaystyle{ |PC|^2=x^2+y^2}\) (z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta PGC}\))
\(\displaystyle{ |AP|^2=(b+x)^2+(a-y)^2}\)(z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta APF}\))
\(\displaystyle{ |AC|^2=a^2+b^2}\) (z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\))
Z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta ACP}\):
\(\displaystyle{ |AP|^2+|PC|^2=|AC|^2\\
(b+x)^2+(a-y)^2+x^2+y^2=a^2+b^2}\)
c.n.d
Mamy wykazać, że
\(\displaystyle{ (a-y)^2+y^2+x^2+(b+x)^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ \Delta ACP}\) jest prostokątny (\(\displaystyle{ | \sphericalangle APC|=90^o}\) - kąt wpisany oparty na półokręgu)
\(\displaystyle{ |PC|^2=x^2+y^2}\) (z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta PGC}\))
\(\displaystyle{ |AP|^2=(b+x)^2+(a-y)^2}\)(z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta APF}\))
\(\displaystyle{ |AC|^2=a^2+b^2}\) (z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta ABC}\))
Z twierdzenia Pitagorasa dla \(\displaystyle{ \Delta ACP}\):
\(\displaystyle{ |AP|^2+|PC|^2=|AC|^2\\
(b+x)^2+(a-y)^2+x^2+y^2=a^2+b^2}\)
c.n.d