Stosunek długości podstaw trapezu prostokątnego równa sie liczbie a:b>1.
Przekątne trapezu są prostopałe. Oblicz stosunek długości przekątnych trapezu.
dziękuje za pomoc
trapez prostokątny
-
RyHoO16
- Użytkownik
- Posty: 1822
- Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: WLKP
- Podziękował: 46 razy
- Pomógł: 487 razy
trapez prostokątny
Schematyczny rysunek :
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \Delta ADC \sim \Delta ABD}\) ,z którego wyznaczamy:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}= \frac{AB}{BD}}\) jak również \(\displaystyle{ \frac{AD}{BD}= \frac{DC}{AC}}\)
Teraz jak podzielimy te równości stronami otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{AC} \cdot \frac{BD}{AD}= \frac{AB}{BD} \cdot \frac{AC}{DC} \iff \frac{BD}{AC}=\frac{AB}{BD} \cdot \frac{AC}{DC}}\)
Następnie jak pomnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ \frac{BD}{AC}}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{BD}{AC}\right)^2= \frac{AB}{DC}}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \frac{AB}{DC}= \frac{a}{b}}\)
To stosunek przekątnych jest równy \(\displaystyle{ \left( \frac{BD}{AC}\right)^2= \frac{a}{b} \iff \frac{BD}{AC}= \sqrt{\frac{a}{b}}}\)
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \Delta ADC \sim \Delta ABD}\) ,z którego wyznaczamy:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}= \frac{AB}{BD}}\) jak również \(\displaystyle{ \frac{AD}{BD}= \frac{DC}{AC}}\)
Teraz jak podzielimy te równości stronami otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{AC} \cdot \frac{BD}{AD}= \frac{AB}{BD} \cdot \frac{AC}{DC} \iff \frac{BD}{AC}=\frac{AB}{BD} \cdot \frac{AC}{DC}}\)
Następnie jak pomnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ \frac{BD}{AC}}\) otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left( \frac{BD}{AC}\right)^2= \frac{AB}{DC}}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \frac{AB}{DC}= \frac{a}{b}}\)
To stosunek przekątnych jest równy \(\displaystyle{ \left( \frac{BD}{AC}\right)^2= \frac{a}{b} \iff \frac{BD}{AC}= \sqrt{\frac{a}{b}}}\)