Okrąg wpisany w trapez

[arekklimkiewicz]

Trapez równoramienny o przekątnej długości 5cm i obwodzie długości 16cm, jest opisany na okręgu. Znajdź promień r okręgu wpisanego w ten trapez i promień R okręgu opisaniego na nim.

Z góry dzięki.

[RyHoO16]

Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, więc mamy z tego: \(\displaystyle{ a+b=2c}\) oraz \(\displaystyle{ h=2r}\)
Wiadomo, że żeby obliczyć r musimy znać h. Na początek zajmijmy się ramieniem trapezu:
Wiemy ,że \(\displaystyle{ a+b+2c=16}\), czyli \(\displaystyle{ 4c=16 \iff c=4}\)

Następnie z Tw. Pitagorasa mamy: \(\displaystyle{ h^2+ \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 =d^2 \iff h=3}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ r= \frac{h}{2}= \frac{3}{2}}\)

Natomiast do obliczenia R skorzystamy z Tw. sinusów(niestety tutaj przydał by się schematyczny rysunek, więc rozwiązanie będzie intuicyjne)

\(\displaystyle{ \frac{d}{\sin \alpha}=2R \iff R= \frac{d}{2 \sin \alpha}}\)
A \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{h}{c}= \frac{3}{4}}\)

A więc \(\displaystyle{ R= \frac{5}{2 \cdot \frac{3}{4} }= \frac{10}{3}}\)

[arekklimkiewicz]

Kompletnie nie rozumiem tego pitagorasa przy obliczaniu r

[RyHoO16]

Powstaje trójkąt prostokątny gdzie:
krótsza przyprostokątna = h
dłuższa przyprostokątna jest odcinkiem ograniczonym przez wierzchołek dolnej podstawy i wysokością h=
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\)
przeciwprostokątna=d

[arekklimkiewicz]

a dlaczego dłuższa przyprostokątna to a+b/2 skad to sie wzięło ????

[arekklimkiewicz]

OK, już rozumiem. Wielkie dzięki za pomoc