sześciokąt foremny i moneta

[luvmebad]

Witam
1.
Moneta o średnicy 1 cm toczy się po obwodzie sześciokąta foremnego o boku długości 1 cm,tak długo,aż powróci do położenia początkowego.
Ile cm ma długość drogi,którą zakreślił środek monety

2.W kwadracie o boku 5 cm na przeciwległych bokach zbudowano trójkąty równoboczne położone wewnątrz kwadratu. Oblicz pole części wspolnej tych trójkątów.

Jak to obliczyć?;o

[abc666]

1. środek monety jest cały czas odległy od danej ściany sześciokąta o promień czyli 0,5 cm więc zakreśla sześciokąt foremny, sześciokąt foremny składa się z 6 przystających trójkątów równobocznych

2. zrób rysunek, najlepiej konstrukcyjnie, powstałą figurę możesz podzielić odcinkiem na dwa trójkąty, odcinek dzielący zawiera się w prostej która dzieli kwadrat na pół

teraz powinieneś sobie poradzić

[*Kasia]

1. środek monety jest cały czas odległy od danej ściany sześciokąta o promień czyli 0,5 cm więc zakreśla sześciokąt foremny, sześciokąt foremny składa się z 6 przystających trójkątów równobocznych

Sam sobie zaprzeczasz. Piszesz, że środek jest cały czas równoodległy od ściany(? - boku raczej) sześciokąta, a potem, że zakreśla sześciokąt.

Figura zakreślona przez środek monety składa się z sześciu odcinków równych i równoległych do boków oraz sześciu łuków między nimi (fragmenty te razem tworzą okrąg o promieniu równym promieniowi monety).

[abc666]

Przepraszam, trochę za duży skrót myślowy. O wierzchołkach nie pomyślałem.

[teomos]

Mam problem z identycznym zadaniem o tych trójkątach położonych w kwadracie. Czy ktoś wie jak to rozwiązać?

[matematix]

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(\displaystyle{ h=\frac{5 \sqrt{3} }{2}=2,5 \sqrt{3}}\). Trójkąt zawiera się w kwadracie bo \(\displaystyle{ h=2,5 \sqrt{3}<2,5 \sqrt{4}=2,5 \cdot 2=5=a}\). Część wspólna tych trójkątów jest rombem, którego przekątne można wyliczyć. Jedna z przekątnych jest równa: \(\displaystyle{ e=2 \cdot 2,5 \sqrt{3}-5=5( \sqrt{3}-1)}\). Teraz tak: Obszar, który został "wolny" w kwadracie po zbudowaniu tych trójkątów, to dwa trójkąty równoramienne o kątach \(\displaystyle{ 30^{\circ} , 30^{\circ} ,120 ^{\circ}}\). Z kąta \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\) prowadzimy wysokość na przeciwległy bok, z czego dostajemy trójkąt o miarach \(\displaystyle{ 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}}\) (wysokość w trójkącie równoramiennym opuszczona na podstawę jest jednocześnie dwusieczną kąta między ramionami), gdzie bok naprzeciwko \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) ma długość 2,5(wysokość w trójkącie równoramiennym opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową podstawy). Stąd wyliczamy długość tej wysokości, albo korzystamy ze wzorów(wysokość ta leży naprzeciwko kąta \(\displaystyle{ 30^{\circ})}\): \(\displaystyle{ h_{2}= \frac{5 \sqrt{3} }{6}}\). Wyliczamy długość drugiej przekątnej rombu: \(\displaystyle{ f=5-2 \cdot \frac{5 \sqrt{3} }{6}= \frac{5(3- \sqrt{3}) }{3}}\). Pole rombu obliczamy ze znanego wzoru: \(\displaystyle{ P _{rombu} = \frac{e \cdot f}{2}= \frac{25(2 \sqrt{3}-3) }{3}}\).