Trapez opisany na okregu - funkcja pola
-
- Użytkownik
- Posty: 87
- Rejestracja: 21 lis 2006, o 23:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 3 razy
Trapez opisany na okregu - funkcja pola
Trapez równoramienny opisany jest na okręgu. Suma dł. krótszej podstawy i ramienia jest równa 30. Przedstaw pole tego trapezu jako funkcję długości ramienia. Wyznacz dziedzine tej funkcji.
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Trapez opisany na okregu - funkcja pola
Oznaczenia: a,b długości podstaw (a<b) oraz c-długość ramienia.
Z zadania mamy, że \(\displaystyle{ a+c=30 \ \Rightarrow a=30-c}\). Dłuższą podstawę możemy zapisać w ten sposób \(\displaystyle{ b=a+2x=30-c+2x}\), gdzie x odcinek wyznaczony przez wysokość poprowadzoną w końca krótszej podstawy do drugiej podstawy trapezu. Biorac pod uwagę fakt \(\displaystyle{ a+b=2c}\) mamy \(\displaystyle{ 30-c+30-c+2x=2c \ \Rightarrow \ x=2c-30}\).
Możemy obliczyć już wysokość trapezu \(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-x^2} \iff h=\sqrt{-3c^2+120c-900}}\), a więc pole jest równe:
\(\displaystyle{ P(c)=\frac{1}{2}\cdot 2c \cdot h \\
P(c)=c\sqrt{-3c^2+120c-900}}\)
edit.
Jeśli chodzi o dziedzinę wystarczy wziąć pod uwagę to, że liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia, więc \(\displaystyle{ -3c^2+120c-900>0}\) dla \(\displaystyle{ c \in (10,30)}\) oraz \(\displaystyle{ a<b}\), czyli \(\displaystyle{ c>15}\) zatem \(\displaystyle{ D=(15,30)}\).
Z zadania mamy, że \(\displaystyle{ a+c=30 \ \Rightarrow a=30-c}\). Dłuższą podstawę możemy zapisać w ten sposób \(\displaystyle{ b=a+2x=30-c+2x}\), gdzie x odcinek wyznaczony przez wysokość poprowadzoną w końca krótszej podstawy do drugiej podstawy trapezu. Biorac pod uwagę fakt \(\displaystyle{ a+b=2c}\) mamy \(\displaystyle{ 30-c+30-c+2x=2c \ \Rightarrow \ x=2c-30}\).
Możemy obliczyć już wysokość trapezu \(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-x^2} \iff h=\sqrt{-3c^2+120c-900}}\), a więc pole jest równe:
\(\displaystyle{ P(c)=\frac{1}{2}\cdot 2c \cdot h \\
P(c)=c\sqrt{-3c^2+120c-900}}\)
edit.
Jeśli chodzi o dziedzinę wystarczy wziąć pod uwagę to, że liczba pod pierwiastkiem musi być dodatnia, więc \(\displaystyle{ -3c^2+120c-900>0}\) dla \(\displaystyle{ c \in (10,30)}\) oraz \(\displaystyle{ a<b}\), czyli \(\displaystyle{ c>15}\) zatem \(\displaystyle{ D=(15,30)}\).
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Trapez opisany na okregu - funkcja pola
No tak, a sama w trakcie pisania odpowiedzi sprawdzałam również warunek \(\displaystyle{ a<b \iff 30-c<3c-30 \ \Rightarrow c>15}\), a w odpowiedzi go nie uwzględniłam