[matura] Równoległobok ABCD. Oblicz dł. boków.

[mariusz689]

W równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątna \(\displaystyle{ DB}\) ma długość \(\displaystyle{ 7}\). Wiedząc, że obwód równoległoboku wynosi \(\displaystyle{ 26}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=120 ^{O}}\), oblicz długości boków równoległoboku.

[arrgghh]

Niech a i b będą bokami tego równoległoboku.
\(\displaystyle{ 2a+2b=26 \\
a+b=13 \\
\sphericalangle ABC=120^{0} \Leftrightarrow \sphericalangle BCD=60^{0}}\)

Z twierdzenia cosinusów:

\(\displaystyle{ 7^{2}=a^{2}+b^{2}-2cos60^{0}ab \\
a^{2}+b^{2}-ab=49 \\
(a+b)^{2}-3ab=49 \\
-3ab=49-13^{2} \\
ab=40 \\
\\
a+b=13 \Leftrightarrow a=13-b \\
(13-b)b=40 \\
13b-b^{2}=40 \\
b^{2}-13b+40=0 \\
\Delta=169-160=9 \\
\sqrt{\Delta}=3 \\
b_{1}=8 \\
b_{2}=5

\begin{cases}
a=8 \\
b=5\end{cases} \vee \ \begin{cases}a=5\\b=8\end{cases}}\)

Odp.: Długości boków tego równoległoboku to 8 i 5.