Punkty na płaszczyźnie

Grel · Post autor: **Grel** » 14 sty 2009, o 21:29

Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Czy istnieją dwa punkty o tym samym kolorze oddalone od siebie o daną odległość d?

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 14 sty 2009, o 21:59

Załóżmy, że te kolory to czerwony i niebieski (c i n). Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości d. Załóżmy, że dane dwa wierzchołki tego trójkąta są odpowiednio c i n. Wówczas trzeci musi być c lub n, zatem zawsze możemy wybrać odcinek o żądanej długości d o końcu i początku tego samego koloru. c.k.d.

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 14 sty 2009, o 22:05

Mamy punkt A, który jest środkiem okręgu o promieniu d. Aby tak sytuacja nie mogła się zdarzyć, wszystkie punkty na tym okręgu muszą być innego koloru. Ale z dowolnego punktu na okręgu (nazwijmy go B) możemy poprowadzić drugi okrąg o promieniu d, który ma dwa punkty wspólne (C i D) z tym pierwszym. Więc odcinki BC i CD będą odcinkami długości d i których końcami są punkty jednego koloru.

Alicja91 · Post autor: **Alicja91** » 14 sty 2009, o 22:14

hmm a co do tego mam też pytanie, czy płaszczyzna jest ograniczona? Ostatnio na lekcji nauczycielka nam wbijała do głowy, że płaszczyzna nie ma końca. Jeśli ta teza jest prawdziwa to na pewno muszą istnieć dwa punkty o tym samym kolorze, które są oddalone na taką samą długość od punktu d.

MagdaW · Post autor: **MagdaW** » 14 sty 2009, o 22:15

Nie, nie jest ograniczona (nie ma końca ani początku).