Okrąg opisany na trapezie..

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
mimicus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 25 paź 2008, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 56 razy

Okrąg opisany na trapezie..

Post autor: mimicus90 »

Na okręgu o danym promieniu r opisano trapez równoramienny \(\displaystyle{ ABCD}\) o dłuższej podstawie \(\displaystyle{ AB}\) i krótszej \(\displaystyle{ CD}\). Punkt styczności K dzieli ramię \(\displaystyle{ BC}\) tak, że \(\displaystyle{ \frac{|CK|}{|KB|} = \frac{2}{3}}\).
a)Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b)Oblicz \(\displaystyle{ cos}\) kąta \(\displaystyle{ CDB}\).

Z góry dziękuję za zaangażowanie!
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Okrąg opisany na trapezie..

Post autor: anna_ »


\(\displaystyle{ |OK|=|OL|=|OM|=|ON|=r}\)
\(\displaystyle{ OA,OB,OC,OD}\)-dwusieczne kątów trapezu.
Odpowiednie trójkąty, których bokami są promienie okręgu i dwusieczne kątów, są do siebie przystające.
Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ |CK|=2x}\), to:
\(\displaystyle{ |CK|=LC|=|DL|=|DM|=2x\\
|KB|=3x\\
|KB|=|NB|=|AN|=|AM|=3x\\}\)

Obliczam |AP|
\(\displaystyle{ |AP|=(|AB|-|DC|):2\\
|AP|=(6x-4x):2\\
|AP|=x}\)

Obliczam |AD|
\(\displaystyle{ |AD|^2=|AP|^2+|PD|^2\\
(5x)^2=x^2+(2r)^2\\
25x^2=x^2+4r^2\\
24x^2=4r^2\\
x^2= \frac{r^2}{6}\\
x= \frac{r \sqrt{6} }{6}\\
|AD|=5x=5 \frac{r \sqrt{6} }{6}\\
|AD|= \frac{5r \sqrt{6} }{6}}\)

Obliczam |DE|
\(\displaystyle{ |DE|=|AB|-|AP|\\
|DE|=6x-x\\
|DE|=5x\\
|DE|= \frac{5r \sqrt{6} }{6}}\)

Obliczam |DB|
\(\displaystyle{ |DB|^2=|DE|^2+|EB|^2\\
|DB|^2=(\frac{5r \sqrt{6} }{6})^2+(2r)^2\\
|DB|^2= \frac{25r^2}{6} +4r^2\\
|DB|^2= \frac{49r^2}{6} \\
|DB|= \frac{7 \sqrt{6}r }{6}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|DE|}{|DB|} \\
cos\alpha= \frac{\frac{5r \sqrt{6} }{6}}{\frac{7 \sqrt{6}r }{6}} \\
cos\alpha= \frac{5}{7}}\)
ODPOWIEDZ