Zadanko, pomocy...
W trapezie rownoramiennym wysokosc ma 16 cm przekatne sa do siebie prostopadle a ich punkt wspolny dzieli kazda z nich na odcinki ktorych stosunek wynosi 3:5
oblicz pole i obwod trapezu.
trapez rownoramienny
-
Grzegorz t
- Użytkownik
- Posty: 813
- Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
- Pomógł: 206 razy
trapez rownoramienny
Tak na przyszłość, żebyś nie stosował słów pomocy, OK?
\(\displaystyle{ ABCD}\)- nasz trapez równoramienny
\(\displaystyle{ O}\)- punkt przecięcia przekątnych trapezu
\(\displaystyle{ E}\) - środek krótszej podstawy CD
\(\displaystyle{ F}\)- środek dłuższej podstawy AB
\(\displaystyle{ AO=OB=5a}\)
\(\displaystyle{ OD=OC=3a}\)
niech \(\displaystyle{ ED=x, FD=16-x}\)
\(\displaystyle{ P}\)-pole trapezu
Trójkąty \(\displaystyle{ DEO}\)oraz \(\displaystyle{ FOB}\)są podobne zatem mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3a}= \frac{16-x}{5a} \Rightarrow x=6, EO=6, FO=10}\)
Z tw. pitagorasa, bo tr. \(\displaystyle{ DEO}\) i \(\displaystyle{ AFO}\)są prostokątne:
mamy:
\(\displaystyle{ CD=2 \sqrt{9a^2-36}}\)
\(\displaystyle{ AB=2 \sqrt{25a^2-100}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(2 \sqrt{25a^2-100}+2 \sqrt{9a^2-36} )\cdot 16 *}\)
Z drugiej strony pole trapezu \(\displaystyle{ P=P_{ABO}+P_{COD}+P_{AOD}+P_{BOC}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot 8a\cdot 8a \cdot sin90=32a^2 **}\)
Z \(\displaystyle{ **}\) i \(\displaystyle{ **}\) otrzymamy w rezultacie takie oto równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{25a^2-100} + \sqrt{9a^2-36}=2a^2}\)
\(\displaystyle{ 5 \sqrt{a^2-4} +3 \sqrt{a^2-4} =2a^2}\), podstawienie, \(\displaystyle{ \sqrt{a^2-4}=t, t>0 \Rightarrow a=2 \sqrt{2}}\)
Dalej już prosto, pole trapezu \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot 8a\cdot 8a=32a^2=256}\)
Spróbuj policzyć obwód trapezu>>>
\(\displaystyle{ AD=BC= \sqrt{25a^2+9a^2}}\) -\(\displaystyle{ a}\) już masz policzone, \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) też
\(\displaystyle{ O=AB+CD+2AD=2 \sqrt{25a^2-100}+2 \sqrt{9a^2-36}+2 \sqrt{25a^2+9a^2} a=2 \sqrt{2}}\) - podstawić i już...
\(\displaystyle{ ABCD}\)- nasz trapez równoramienny
\(\displaystyle{ O}\)- punkt przecięcia przekątnych trapezu
\(\displaystyle{ E}\) - środek krótszej podstawy CD
\(\displaystyle{ F}\)- środek dłuższej podstawy AB
\(\displaystyle{ AO=OB=5a}\)
\(\displaystyle{ OD=OC=3a}\)
niech \(\displaystyle{ ED=x, FD=16-x}\)
\(\displaystyle{ P}\)-pole trapezu
Trójkąty \(\displaystyle{ DEO}\)oraz \(\displaystyle{ FOB}\)są podobne zatem mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x}{3a}= \frac{16-x}{5a} \Rightarrow x=6, EO=6, FO=10}\)
Z tw. pitagorasa, bo tr. \(\displaystyle{ DEO}\) i \(\displaystyle{ AFO}\)są prostokątne:
mamy:
\(\displaystyle{ CD=2 \sqrt{9a^2-36}}\)
\(\displaystyle{ AB=2 \sqrt{25a^2-100}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(2 \sqrt{25a^2-100}+2 \sqrt{9a^2-36} )\cdot 16 *}\)
Z drugiej strony pole trapezu \(\displaystyle{ P=P_{ABO}+P_{COD}+P_{AOD}+P_{BOC}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot 8a\cdot 8a \cdot sin90=32a^2 **}\)
Z \(\displaystyle{ **}\) i \(\displaystyle{ **}\) otrzymamy w rezultacie takie oto równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{25a^2-100} + \sqrt{9a^2-36}=2a^2}\)
\(\displaystyle{ 5 \sqrt{a^2-4} +3 \sqrt{a^2-4} =2a^2}\), podstawienie, \(\displaystyle{ \sqrt{a^2-4}=t, t>0 \Rightarrow a=2 \sqrt{2}}\)
Dalej już prosto, pole trapezu \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\cdot 8a\cdot 8a=32a^2=256}\)
Spróbuj policzyć obwód trapezu>>>
\(\displaystyle{ AD=BC= \sqrt{25a^2+9a^2}}\) -\(\displaystyle{ a}\) już masz policzone, \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) też
\(\displaystyle{ O=AB+CD+2AD=2 \sqrt{25a^2-100}+2 \sqrt{9a^2-36}+2 \sqrt{25a^2+9a^2} a=2 \sqrt{2}}\) - podstawić i już...