Łamana

[nogiln]

wykaż, że w sześciokącie suma jego boków jest większa od dwukrotności odległości między najbardziej oddalonymi jego punktami.

[Swistak]

Łączymy dwa najbardziej oddalone punkty sześciokąta. Oczywiście oba z tych punktów będą leżeć na bokach sześciokąta (lub w wierzchołkach), bo gdyby nie leżały, to można by poprowadzić prostą przez te 2 punkty i zamiast tych dwóch wziąć przecięcia proste z bokami. Wydaje mi się, że muszą one także leżeć w wierzchołkach, ale ewentualny dowód byłby dłuższy i w dodatku zbędny ;P. Bierzemy pod uwagę 2 łamane, które mają końce w danych punktach i składają się z boków sześciokąta. Oczywiście obie łamane mają długość większa niż odcinek łączący 2 najbardziej oddalone punkty. Otrzymujemy zatem 2 nierówności: a>c i b>c, gdzie "a" i "b" to długości danych łamanych, a "c" to długość odcinka. Dodajemy te nierówności stronami i otrzymujemy a+b>2c. a+b to oczywiście obwód danego sześciokąta i ta nierówność dowodzi tezy.