Lemat o okręgach

[Altair33]

W książce "Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads" spotkałem się z następującym lematem, jednak wydaje mi się, że niepoprawnie go rozumiem:

Lemma 2.13 (Finding Coaxial Circles). Three distinct circles \(\displaystyle{ Ω_{1}}\), \(\displaystyle{ Ω_{2}}\), \(\displaystyle{ Ω_{3}}\) pass through
a point \(\displaystyle{ X}\). Then their centers are collinear if and only if they share a second common point.

No bo gdyby wziąć trzy okręgi takie, że każde dwa są względem siebie styczne wewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ X}\), to mamy trzy okręgi przechodzące przez jeden punkt, których środki leżą na jednej prostej, a które - wbrew lematowi - nie mają drugiego punktu wspólnego dla wszystkich ich trzech? Czy tu może po prostu chodzić o to, że w domyśle traktujemy taki przypadek jako zdegenerowany, w którym dwa punkty przecięcia wspólne dla każdej pary okręgów "schodzą się" do jednego punktu styczności czy to ja jestem dzisiaj jakiś nieprzytomny? xD

[matmatmm]

Według mnie masz zupełną rację. Lemat jest nieprawdziwy. Staje się prawdziwy np. przy dodatkowym założeniu, że \(\displaystyle{ \Omega_1, \Omega_2}\) nie są styczne.

[Dasio11]

W geometrii algebraicznej punkt przecięcia dwóch krzywych uważa się za wielokrotny, jeśli krzywe są w tym punkcie styczne (idea podobna jak dla zer wielokrotnych wielomianu) - może taką interpretację zakłada lemat?

[Bran]

W geometrii algebraicznej punkt przecięcia dwóch krzywych uważa się za wielokrotny, jeśli krzywe są w tym punkcie styczne (idea podobna jak dla zer wielokrotnych wielomianu) - może taką interpretację zakłada lemat?

Ilukrotny wówczas ten punkt jest?

[Dasio11]

Mając konkretne krzywe można to wyliczyć z definicji, której nie przytoczyłem, bo jest nieistotna - podałem tylko (potencjalnie) istotną dla tego wątku jej własność.