Największy możliwy obwód

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 321
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 225 razy

Największy możliwy obwód

Post autor: 41421356 » 22 maja 2020, o 11:39

Suma długości przekątnych w pewnym czworokącie wypukłym wynosi \(\displaystyle{ 20 \ \hbox{cm}}\). Jaki może być największy możliwy obwód tego czworokąta?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 439
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 128 razy

Re: Największy możliwy obwód

Post autor: JHN » 22 maja 2020, o 13:12

Rysunek standardowy, \(\displaystyle{ 20=p+q=(p_1+p_2)+(q_1+q_2)}\)
Z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ +\underline{\begin{cases} q_1+p_1>a\\p_1+q_2>b\\ q_2+p_2>c\\p_2+q_1>d \end{cases}}\\
40>a+b+c+d}\)

i wartości największej nie przyjmuje

Pozdrawiam

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 321
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 225 razy

Re: Największy możliwy obwód

Post autor: 41421356 » 22 maja 2020, o 13:50

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1864
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 264 razy

Re: Największy możliwy obwód

Post autor: matmatmm » 22 maja 2020, o 14:03

JHN pisze:
22 maja 2020, o 13:12
Rysunek standardowy, \(\displaystyle{ 20=p+q=(p_1+p_2)+(q_1+q_2)}\)
Z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ +\underline{\begin{cases} q_1+p_1>a\\p_1+q_2>b\\ q_2+p_2>c\\p_2+q_1>d \end{cases}}\\
40>a+b+c+d}\)

i wartości największej nie przyjmuje
Coś mi się wydaje za grube takie oszacowanie. Masz jakąś metodę na konstrukcję czworokąta, żeby obwód "zbliżał się" do \(\displaystyle{ 40}\) ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18142
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Największy możliwy obwód

Post autor: a4karo » 22 maja 2020, o 14:46

Oszacowanie jest ok. Wystarczy wziąć dwa odcinki każdy o długości `10`równolegle o jednym wspólnym końcu i troszeczkę przesunąć jeden z nich tak, żeby się przecięły - dostaniemy "prawie trójkąt" o dużym obwodzie

ODPOWIEDZ