Obliczyc sumę kwadratow s wszystkich boków i przekatnych n kata foremnego wpisanego w koło o promieniu r. tj
s=f(n,r)
Suma kwadratow
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11583
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 16 lis 2007, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stamtąd
- Pomógł: 2 razy
Suma kwadratow
wydaje mi się że będzie:
\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)
pewnie da się to jakoś ładniej zapisać...
później napiszę skąd mi się to wzięło
[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 19:43 ]
środek okręgu opisanego na tym wielokącie umieściłem w początku układu współrzędnych, a w punkcie (r, 0) umieściłem jeden z wierzchołków n-kąta foremnego. Teraz obracając ten punkt względem punktu (0, 0) można otrzymać pozostałe wierzchołki. Punkt obrócony o \(\displaystyle{ \gamma}\) ma współrzędne:
\(\displaystyle{ (r\cos\gamma, r\sin\gamma)}\)
kwardrat odległości tego punktu od punktu (r, 0):
\(\displaystyle{ (r-r\cos\gamma)^{2}+(r\sin\gamma)^{2}=r^{2}-2r^{2}\cos\gamma+r^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)=2r^{2}(1-\cos\gamma)}\)
sąsiednie punkty n-kąta są obrócone względem siebie (obrót względem (0, 0)) o
\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\)
teraz od wybranego punktu prowadzimy odcinki do wszystkich pozostałych punktów. Ich suma kwadratów długości to:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}2r^{2}\left(1-\cos\frac{2\pi i}{n}\right)}\)
tak powstałą figurę obracamy względem (0, 0) o kąt 2pi/n aby uzyskać nowe odcinki łączące punkty. Trzeba zauważyć, że jeden z tych odcinków (skrajny) nachodzi na poprzedni, więc nie uwzględniamy go w sumie. Następna figura będzie o ten skrajny odcinek pomniejszona. Teraz nową figurę obracamy o 2pi/n i znowu skrajny odcinek trzeba skasować. Tak należy postąpić n-1 razy, stąd:
\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)
gdy zaczniemy sobie tym wzorem sumować kwadraty długości odcinków, to najpierw dodajemy jeden odcinek a na końcu n-1 odcinków, ale jak wiadomo nie ma znaczenia od której strony zaczniemy sumować
pozdrawiam
\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)
pewnie da się to jakoś ładniej zapisać...
później napiszę skąd mi się to wzięło
[ Dodano: 6 Kwietnia 2008, 19:43 ]
środek okręgu opisanego na tym wielokącie umieściłem w początku układu współrzędnych, a w punkcie (r, 0) umieściłem jeden z wierzchołków n-kąta foremnego. Teraz obracając ten punkt względem punktu (0, 0) można otrzymać pozostałe wierzchołki. Punkt obrócony o \(\displaystyle{ \gamma}\) ma współrzędne:
\(\displaystyle{ (r\cos\gamma, r\sin\gamma)}\)
kwardrat odległości tego punktu od punktu (r, 0):
\(\displaystyle{ (r-r\cos\gamma)^{2}+(r\sin\gamma)^{2}=r^{2}-2r^{2}\cos\gamma+r^{2}(\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma)=2r^{2}(1-\cos\gamma)}\)
sąsiednie punkty n-kąta są obrócone względem siebie (obrót względem (0, 0)) o
\(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\)
teraz od wybranego punktu prowadzimy odcinki do wszystkich pozostałych punktów. Ich suma kwadratów długości to:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}2r^{2}\left(1-\cos\frac{2\pi i}{n}\right)}\)
tak powstałą figurę obracamy względem (0, 0) o kąt 2pi/n aby uzyskać nowe odcinki łączące punkty. Trzeba zauważyć, że jeden z tych odcinków (skrajny) nachodzi na poprzedni, więc nie uwzględniamy go w sumie. Następna figura będzie o ten skrajny odcinek pomniejszona. Teraz nową figurę obracamy o 2pi/n i znowu skrajny odcinek trzeba skasować. Tak należy postąpić n-1 razy, stąd:
\(\displaystyle{ S=\sum_{i=1}^{n-1} ft( \sum_{j=1}^{i} 2r^{2} ft( 1-cos \frac{2 \pi j}{n} \right) \right)}\)
gdy zaczniemy sobie tym wzorem sumować kwadraty długości odcinków, to najpierw dodajemy jeden odcinek a na końcu n-1 odcinków, ale jak wiadomo nie ma znaczenia od której strony zaczniemy sumować
pozdrawiam