Trzynastokąt foremny za pomoca odcinka

Jachu · Post autor: **Jachu** » 12 paź 2008, o 10:17

Jak w temacie, konstrukcja trzynastokąta foremnego o zadanej długości boku za pomocą odcinka

robcio_5 · Post autor: **robcio_5** » 14 paź 2010, o 11:22

odświeżam temat bo też nie wiem jak to konstrukcyjnie narysować.Ktoś wie?

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 14 paź 2010, o 12:20

Nie da się skonstruować trzynastokąta foremnego(mając dany bok) za pomocą zwykłej liniki i cyrkla (patrz Twierdzenie Gaussa - Wantzela)

robcio_5 · Post autor: **robcio_5** » 14 paź 2010, o 12:23

a jak na przykład podzielę okrąg na 13 części i je ze sobą połączę to będzie dobrze?

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 14 paź 2010, o 12:25

Zawsze będzie to przybliżeniem, bo \(\displaystyle{ \frac{360 ^{o} }{13}}\) jest liczbą niewymierną.

robcio_5 · Post autor: **robcio_5** » 14 paź 2010, o 12:34

a wiesz jak podzielić okrąg na 5 i 11 równych części, tak konstrukcyjnie?

bayo84 · Post autor: **bayo84** » 14 paź 2010, o 13:33

Pięciokąt foremny

Rysujesz: Średnica -->Rysujesz: promień r prostopadły do średnicy --> Wyznacz: środek narysowanego promienia --> łączysz środek promienia z jednym z końców średnicy --> rysujesz dwusieczną kąta ostrego pomiędzy promieniem, a odcinkiem łączącym promień z końcem dwusiecznej --> dwusieczna przecina średnicę w punkcie A --> rysujesz odcinek łączący punkt A z punktem na okręgu B \(\displaystyle{ \wedge}\) r prostopadły do AB --> łączysz koniec średnicy z punktem A --> otrzymujesz jeden bok pięciokąta wpisanego w okrąg --> rysujesz kolejną średnicę o początku w jednym z końców powstałego boku pięciokąta i powtarzasz operację

jedenastokąt foremny:

brak możliwości konstrukcji przy pomocy liniki i cyrkla

tkrass · Post autor: **tkrass** » 14 paź 2010, o 16:35

bayo84 pisze:Zawsze będzie to przybliżeniem, bo \(\displaystyle{ \frac{360 ^{o} }{13}}\) jest liczbą niewymierną.

Istnieją odcinki o długościach niewymiernych, które da się skonstruować przy pomocy cyrkla i linijki mając dany odcinek o długości wymiernej.

kruszewski · Post autor: **kruszewski** » 27 gru 2010, o 16:03

bayo84 pisze:Zawsze będzie to przybliżeniem, bo \(\displaystyle{ \frac{360 ^{o} }{13}}\) jest liczbą niewymierną.

K.F. Gauss pokazał jak skonstruować 17-bok foremny cyrklem i liniałem, mimo "niewymierności" przy dzieleniu przez 17.

Vax · Post autor: **Vax** » 27 gru 2010, o 16:56

Poza tym, od kiedy ułamek, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, jest niewymierny?..

Pozdrawiam.

Brycho · Post autor: **Brycho** » 27 gru 2010, o 18:11

Żeby skonstruować n-kąt foremny trzeba znaleźć pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^{n}=1}\) różny od \(\displaystyle{ 1}\).
Po przekształceniu równanie ma postać:
\(\displaystyle{ (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^{2}+x+1)=0}\)
Można pokombinować podstawiając , np. \(\displaystyle{ y=x+ \frac{1}{x}}\)
W każdym razie trzeba doprowadzić do równania stopnia niższego niż pięć. (słyszałem, że niektóre równania 4-tego stopnia można rozwiązać uzyskując pierwiastek nieprzybliżony).
Gdy już mamy pierwiastek, np \(\displaystyle{ z =a+bi}\) to zaznaczamy go na płaszczyźnie zespolonej i kreślimy łuk z punktu zero przez punkt \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ z}\). Szacujemy ile razy większy jest kąt na któym opiera się ten łuk od kąta \(\displaystyle{ \frac{360^{o}}{n}}\). Załóżmy , że \(\displaystyle{ k}\) razy.
Wówczas obliczyliśmy , że \(\displaystyle{ tg(\frac{k360^{o}}{n})=\frac{b}{a}}\). To z reguły umożliwia konstrukcję.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 27 gru 2010, o 20:27

pięciokąt foremny: konstrukcja Kochańskiego