Trójkąt w trójkącie

Dział poświęcony konstrukcjom platońskim i nie tylko...
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Trójkąt w trójkącie

Post autor: patry93 »

Witam.

Dany jest dowolny trójkąt ABC. Na boku AB leży punkt D. Znaleźć konstrukcyjne takie punkty E i F leżące odpowiednio na bokach BC i AC, żeby obwód trójkąta DEF był jak najmniejszy.

Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2008, o 15:24 przez patry93, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Trójkąt w trójkącie

Post autor: Elvis »

patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Trójkąt w trójkącie

Post autor: patry93 »

Elvis - dzięki, niestety mało co rozumiem... :|
Jeśli wmiarę skapowałem, to robimy odbicie symetralne punktu D względem jednego i drugiego boku, czyli otrzymujemy niech będzie to punkty D' i D''. Potem tworzymy prostą D'D'' i miejsce przecięcia tej prostej z bokami BC i AC to będą szukane punkty E i F.
Lecz jeśli nawet jest to dobra konstrukcja, to jak ją udowodnić? :/
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 89 razy

Trójkąt w trójkącie

Post autor: Elvis »

Przyjmując analogiczne oznaczenia:
\(\displaystyle{ DE+EF+FD = DE+EF'+F'D'' \geqslant DD''}\)
Pierwsze wyrażenie to obwód trójkąta, drugie to długość łamanej DEF'D'' (równość wynika z równości odpowiednich składników), trzecie to długość odcinka DD'' (nierówność jest oczywista). Gdy przyjmiemy E i F takie, że E i F' leżą na DD'', obwód trójkąta DEF będzie minimalny i równy długości DD''.

Edit: Podam dokładne oznaczenia, żeby nie było wątpliwości:
A', D', F' - odbicia A, D i F względem BC
D'' - odbicie D' względem A'C
ODPOWIEDZ