Wysokość

[Gonia13]

zad.

Wysokość CD trójkąta, której długość wynosi 5, dzieli bok AB na dwa odcinki tak, że AD=4 i DB=8. W trójkącie tym poprowadzono prostą EF równoległą do CD, która podzieliła ten trójkąt na dwie figury o równych polach i taką, że E BC, F AB. Oblicz długość odcinka leżacego na tej prostej, zawartego w tym trójkącie.

[borysfan]

Polce całego trojkata wynosci 30 cm^2. (czyli jego polowa to 15)
oznaczenia:
h - dlugosc odcinka EF
x - dlugosc odcinka FB
8-x - dlugosc odcinka DF

\(\displaystyle{ \begin{cases} 15= \frac{1}{2}xh\\ 5= \frac{(5+h)(9-x)}{2} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{30}{h} \\ 10=(5+h)(8-x) \end{cases}}\)
podstawiamy pierwsze rownanie do drugiego i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 150=8h^{2}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{5 \sqrt{3} }{2}}\)

[Elvis]

Trójkąty CBD i EFB są podobne. Przyjmijmy skalę podobieństwa k, tzn. \(\displaystyle{ EF=kCD}\). Pole trójkąta EFB można przedstawić na dwa sposoby:
\(\displaystyle{ P_{EFB} = \frac{1}{2}P_{ABC} = \frac{1}{2} 30 = 15}\)
\(\displaystyle{ P_{EFB} = k^2 P_{CBD} = k^2 20}\)
Stąd \(\displaystyle{ k = \frac{\sqrt{3}}{2}}\) i \(\displaystyle{ EF = kCD = \frac{5\sqrt{3}}{2}}\)