Konstrukcja trójkąta

[snm]

Na bokach AB, BC, AC trójkąta ostrokątnego znaleźć takie punkty (odpowiednio) P, Q, R, aby obwód trójkąta PQR był najmniejszy.


Znaleźć dwa pozostałe przy jednym danym to nie problem. Ktoś ma pomysł jak znaleźć ten pierwszy?

[Elvis]

Niech A' i P' będą odbiciami A i P względem BC, B' i P'' odbiciami B i P' względem A'C. Mamy PQ+QR+RP >= PP''. Tak więc dla dowolnego P optymalnym rozwiązaniem jest poprowadzić prostą PP'' i w ten sposób wyznaczyć Q i R. Wtedy obwodem PQR jest PP''.

Pozostaje wyznaczyć P. Niech O będzie przecięciem AB i A'B' (w tym momencie chyba rozważam szczególny przypadek, ale nie szkodzi). Suma OP+OP'' jest niezależna od wyboru P, w związku z tym problem można sprowadzić do prostszego problemu. Wydaje mi się, że rozwiązaniem jest takie P i P'', że OP=OP'' (o ile takie istnieje).

[snm]

Trochę poprzekręcałeś w literkach, nawet jeśli A'B' i AB się przetną, to nie możemy na podstawie tego (domysłu), że rozwiązaniem jest OP=OP'' nic skonstruować, ponieważ nie mamy dane P, ani też (w konsekwencji) P''

[Elvis]

Być może niedokładnie się wyraziłem. W każdym razie chodziło mi o następujący problem:

Mamy kąt o wierzchołku O i długość p. Wyznacz na ramionach tego kąta takie punkty P i P', że OP+OP'=2p oraz długość PP' jest najmniejsza z możliwych.

I moim zdaniem rozwiązaniem jest punkt P oddalony o p od punktu O (punkt O jest stały). Nie twierdzę, że to jest dobre rozwiązanie, ale chciałem przedstawić swój punkt widzenia.