podział czworokąta

[Dumel]

jak poprowadźić z wierzchołka A czworokąta wypukłego ABCD prostą dzielącą ten czworokąt na dwa wielokąty o równych polach?

[kmicic90]

Spytaj Wiślaka

[Dumel]

gdyby był na tyle mądry to bym go w domu spytał a nie na forum to wywlekał
a wracając do tematu:
słyszałem o jednym pomyśle na rozwiązanie tego zadania, ale nie jestem pewien czy jest poprawny: łączymy środki ciężkości trójkątów ABC i CDA oraz ABD i BCD, i z punktu A przez punkt przecięcia skonstruowanych odcinków prowadzimy prostą. Czy ten sposób jest dobry i dlaczego tak/nie?

[adamadam]

Załóżmy bez straty ogólności, że jest \(\displaystyle{ S(ACD) qslant S(ABC)}\). Wtedy punkt przecięcia tej prostej z bokiem będzie leżał na odcinku \(\displaystyle{ CD}\). Oznaczmy ten punkt przez \(\displaystyle{ X}\).
Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie takim punktem na prostej \(\displaystyle{ CD}\), że proste \(\displaystyle{ AC}\) i i \(\displaystyle{ BY}\) są równoległe. Wielokąt jest wypukły, więc leży on na przedłużeniu odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wtedy \(\displaystyle{ S(ABC)=S(ACY)}\).
Zatem: \(\displaystyle{ S(AXD)=S(ABCX)=S(ABC)+S(ACX)=S(ACY)+S(ACX)=S(AYX)}\).
Stąd punkt \(\displaystyle{ X}\) leży w połowie odcinka \(\displaystyle{ YD}\).

Ten pomysł jest chyba łatwiejszy

[Dumel]

nigdy w życiu bym na to nie wpadł. dzięki
jeszcze jedno zadanko z tego samego kunkursu (chyba łatwe ale geometria czyli) nie dla mnie:
Mamy czworokąt wypukły ABCD wpisany w okrąg. Przekątne przecinają się w punkcjie X. Punkty P,Q,R,S są rzutami prostokątnymi p. X na boki czworokąta. Wykazać że w czworokąt PQRS można wpisać okrąg

[limes123]

Zrób sobie rysunek i poszukaj na nim czworokątów, na których można opisać okręgi (oczywiście tych małych do na dużym można z założenia) a później da się chyba udowodnić, że dwusieczne kątów w czworokącie PQRS przecinają się w punkcie M.

[adamadam]

Zrób sobie rysunek i poszukaj na nim czworokątów, na których można opisać okręgi (oczywiście tych małych do na dużym można z założenia) a później da się chyba udowodnić, że dwusieczne kątów w czworokącie PQRS przecinają się w punkcie M.

Nawet da się udowodnić, że punktem przecięcia dwusiecznych jest punkt X

Załóżmy, że punkty \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\) leżą odpowiednio na bokach \(\displaystyle{ AD,AB,BC,CD}\).
Wtedy można opisać okręgi na czworokątach \(\displaystyle{ AQXP, QBRX, RXSC, SXDP}\).
Dalej łatwo \(\displaystyle{ \angle PQX = \angle PAX = \angle DAC = \angle DBC = \angle XBR = \angle XQR}\) i tak dalej.

[limes123]

Kurde coś źle przeczytałem i zobaczyłem tam M zamiast X... ale chodziło mi właśnie o to że się przecinają w punkcie przecięcia przekątnych tego dużego.