Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Mamy dwa okręgi o promieniach R i r gdzie \(\displaystyle{ r R}\) są one styczne zewnętrznie oraz prowadzimy prostą która jest styczna do tych dwóch okręgów. Pomiędzy te dwa okręgi a styczną wpisujemy okrąg. Jaki jest promień wpisanego okręgu?
Trzy okręgi styczne i styczna
-
garb1300
- Użytkownik
- Posty: 267
- Rejestracja: 22 sty 2008, o 14:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Legnica
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 76 razy
Trzy okręgi styczne i styczna
Na rysunku połączyłam środki wszystkich okręgów i odległości między tymi środkami wynoszą:
r+R
r+z
R+z
gdzie z -promień wpisanego okręgu (szukana w tym zadaniu).
Ponadto na stycznej - odległości między punktami styczności:
mniejszego okręgu i okręgu wpisanego - nazwałam x
większego i wpisanego - y
więc miedzy punktami styczności małego i dużego mamy x+y
Ten właśnie odcinek x+y zaznaczyłam też równolegle do stycznej raz tak, by przechodził przez środek wpisanego okręgu, a także drugi raz przez środek mniejszego okręgu.
Teraz korzystając tylko z tw. Pitagorasa stworzyłam układ trzech równań z 3 niewiadomymi: x, y, z:
\(\displaystyle{ (R-z) ^{2} +y ^{2}=(R+z) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (r-z) ^{2} +x ^{2}=(r+z) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{2} +(R-r) ^{2} =(R+r) ^{2}}\)
z 1,2-ego wyznacz x,y wstaw do 3-ego i wyznacz szukany promień z.
Mi wyszło:
\(\displaystyle{ z= \frac{Rr}{R+r+2 \sqrt{Rr} }}\)
r+R
r+z
R+z
gdzie z -promień wpisanego okręgu (szukana w tym zadaniu).
Ponadto na stycznej - odległości między punktami styczności:
mniejszego okręgu i okręgu wpisanego - nazwałam x
większego i wpisanego - y
więc miedzy punktami styczności małego i dużego mamy x+y
Ten właśnie odcinek x+y zaznaczyłam też równolegle do stycznej raz tak, by przechodził przez środek wpisanego okręgu, a także drugi raz przez środek mniejszego okręgu.
Teraz korzystając tylko z tw. Pitagorasa stworzyłam układ trzech równań z 3 niewiadomymi: x, y, z:
\(\displaystyle{ (R-z) ^{2} +y ^{2}=(R+z) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (r-z) ^{2} +x ^{2}=(r+z) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x+y) ^{2} +(R-r) ^{2} =(R+r) ^{2}}\)
z 1,2-ego wyznacz x,y wstaw do 3-ego i wyznacz szukany promień z.
Mi wyszło:
\(\displaystyle{ z= \frac{Rr}{R+r+2 \sqrt{Rr} }}\)