Skonstruuj odcinek długości...

[Ag5]

Dane są trzy odcinki długości a, b, c. skonstruuj odcinek długości:

a)\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}\)
b)\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2} -bc}}\)
c)\(\displaystyle{ \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{c}}\)

W każdym z przypadków podaj warunek rozwiązalności zadania.

Ćwiczenie jest na koniec podrozdziału z Twierdzeniem Pitagorasa więc chyba ma z tym związek, tylko ja nie wiem jaki...

[Sylwek]

a) Narysuj trójkąt prostokątny o bokach a, b, przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\), teraz narysuj trójkąt prostokątny o bokach: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\) i c - przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Zadanie jest zawsze rozwiązywalne

b) Rozwiązywalne, gdy to pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ >0}\), ale co dalej, to już nie mam pojęcia

c) Rozwiązywalne, gdy to w liczniku \(\displaystyle{ >0}\). Zauważ, że: \(\displaystyle{ =\frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c} - c}\) a konstrukcja dwóch pierwszych odcinków jest powszechnie znana (z tw. Talesa).

[Ag5]

a) Narysuj trójkąt prostokątny o bokach a, b, przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\), teraz narysuj trójkąt prostokątny o bokach: \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\) i c - przeciwprostokątna ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Zadanie jest zawsze rozwiązywalne

b) Rozwiązywalne, gdy to pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ >0}\), ale co dalej, to już nie mam pojęcia

c) Rozwiązywalne, gdy to w liczniku \(\displaystyle{ >0}\). Zauważ, że: \(\displaystyle{ =\frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c} - c}\) a konstrukcja dwóch pierwszych odcinków jest powszechnie znana (z tw. Talesa).

Dziękuję za pomoc, ale jak byś jeszcze mógł wytłumaczyć ten przykład c. Jak skonstruować ten odcinek \(\displaystyle{ \frac{a^2}{c}}\). Czyli ogólnie jak się mnoży odcinki (i czy się w ogóle da).

[Sylwek]

Nie da się tak po prostu mnożyć odcinków , pokażę, jak można to wykombinować z przykładem c). Niech będzie to odcinek x, taki że: \(\displaystyle{ x=\frac{a^2}{c} \\ \frac{x}{a}=\frac{a}{c}}\)

Rysujesz dwie półproste mające wspólny początek (kat), następnie na jednej z nich odkładasz odcinek \(\displaystyle{ a}\), którego jednym końcem jest wierzchołek kąta, a na drugiej odcinek \(\displaystyle{ c}\) (którego jednym końcem jest wierzchołek kąta). Poprowadź prostą przez drugi koniec tych odcinków. Następnie na półprostej, na której narysowałeś odcinek \(\displaystyle{ c}\) rysujesz odcinek o długości \(\displaystyle{ a}\), zaczynając w końcu odcinka \(\displaystyle{ c}\). Prowadzisz prostą równoległą przechodzącą przez koniec ostatnio odłożonego odcinka o długości a, która jest równoległa do poprzednio zbudowanej prostej. Może coś rysunek rozjaśni, bo troszkę zamotałem


\(\displaystyle{ x=KN \\ a=AB=FK=HL \\ C=FH}\)

Dowód poprawności wynika bezpośrednio z twierdzenia twierdzenia Talesa

[Ag5]

Nie da się tak po prostu mnożyć odcinków , pokażę, jak można to wykombinować z przykładem c). Niech będzie to odcinek x, taki że: \(\displaystyle{ x=\frac{a^2}{c} \\ \frac{x}{a}=\frac{a}{c}}\)

Rysujesz dwie półproste mające wspólny początek (kat), następnie na jednej z nich odkładasz odcinek \(\displaystyle{ a}\), którego jednym końcem jest wierzchołek kąta, a na drugiej odcinek \(\displaystyle{ c}\) (którego jednym końcem jest wierzchołek kąta). Poprowadź prostą przez drugi koniec tych odcinków. Następnie na półprostej, na której narysowałeś odcinek \(\displaystyle{ c}\) rysujesz odcinek o długości \(\displaystyle{ a}\), zaczynając w końcu odcinka \(\displaystyle{ c}\). Prowadzisz prostą równoległą przechodzącą przez koniec ostatnio odłożonego odcinka o długości a, która jest równoległa do poprzednio zbudowanej prostej. Może coś rysunek rozjaśni, bo troszkę zamotałem


\(\displaystyle{ x=KN \\ a=AB=FK=HL \\ C=FH}\)

Dowód poprawności wynika bezpośrednio z twierdzenia twierdzenia Talesa

Jeszcze raz bardzo dziękuję
Strasznie wystraszyłem się tego \(\displaystyle{ .^{kwadratu}.}\) i mnie totalnie zaćmiło

[ Dodano: 30 Stycznia 2008, 14:57 ]
A co do przykładu b:
Odcinek \(\displaystyle{ \sqrt{bc}}\) to średnia geometryczna odcinków b i c, więc dalej chyba jest już w miarę jasne (skonstruowałem ).