Złota liczba i figury płaskie.

[janusz47]

Kod: Zaznacz cały

function zlotypodzial(f,a,b,tolx,toly) 
% Zakładamy. że  f jest   unimodalna na [a,b]. 
% Złoty podział dla znalezienia minimum. 
r=(3-sqrt(5))/2; 
c=1-r; 
x1=a+r*(b-a); 
x2=a+c*(b-a); 
f1=feval(f,x1); 
f2=feval(f,x2); 
k=0; 
fprintf('\n') 
disp(' Złoty podział ') 
fprintf('\n') 
disp('_____________________________________________________________________') 
disp(' k      a         x1         x2          b         f(x1)      f(x2)    ') 
disp('_____________________________________________________________________') 
fprintf('\n') 
while (abs(b-a) > tolx) | (abs(f2-f1) > toly) 
fprintf('%2.f %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f %10.7f\n',k,a,x1,x2,b,f1,f2) 
 if( f1< f2 ) 
 b=x2; 
 x2=x1; 
 x1=a+r*(b-a); 
 f2=f1; 
 f1=feval(f,x1); 
 else 
 a=x1; 
 x1=x2; 
 x2=a+c*(b-a); 
 f1=f2; 
 %% 
 f2=feval(f,x2); 
 end 
 k=k+1; 
end 
fprintf( ' \n minimum = %14.10f ',f1) 
fprintf(' at x = %14.10f ',b)

Przykład

Kod: Zaznacz cały

function f=f1(x)
f=cos(x)-sin(x);

>> zlotypodzial('f1',1,3,10^(-8),10^(-8))

 Złoty podział 

_____________________________________________________________________
 k      a         x1         x2          b         f(x1)      f(x2)    
_____________________________________________________________________

 0  1.0000000  1.7639320  2.2360680  3.0000000 -1.1733444 -1.4040220
 1  1.7639320  2.2360680  2.5278640  3.0000000 -1.4040220 -1.3934259
 2  1.7639320  2.0557281  2.2360680  2.5278640 -1.3508548 -1.4040220
 3  2.0557281  2.2360680  2.3475242  2.5278640 -1.4040220 -1.4141604
 4  2.2360680  2.3475242  2.4164079  2.5278640 -1.4141604 -1.4116506
 5  2.2360680  2.3049517  2.3475242  2.4164079 -1.4123572 -1.4141604
 6  2.3049517  2.3475242  2.3738354  2.4164079 -1.4141604 -1.4139935
 7  2.3049517  2.3312629  2.3475242  2.3738354 -1.4137741 -1.4141604
 8  2.3312629  2.3475242  2.3575742  2.3738354 -1.4141604 -1.4142122
 9  2.3475242  2.3575742  2.3637854  2.3738354 -1.4142122 -1.4141728
10  2.3475242  2.3537354  2.3575742  2.3637854 -1.4142093 -1.4142122
11  2.3537354  2.3575742  2.3599466  2.3637854 -1.4142122 -1.4142036
12  2.3537354  2.3561079  2.3575742  2.3599466 -1.4142136 -1.4142122
13  2.3537354  2.3552017  2.3561079  2.3575742 -1.4142129 -1.4142136
14  2.3552017  2.3561079  2.3566679  2.3575742 -1.4142136 -1.4142134
15  2.3552017  2.3557617  2.3561079  2.3566679 -1.4142134 -1.4142136
16  2.3557617  2.3561079  2.3563218  2.3566679 -1.4142136 -1.4142136
17  2.3557617  2.3559757  2.3561079  2.3563218 -1.4142135 -1.4142136
18  2.3559757  2.3561079  2.3561896  2.3563218 -1.4142136 -1.4142136
19  2.3561079  2.3561896  2.3562401  2.3563218 -1.4142136 -1.4142136
20  2.3561079  2.3561584  2.3561896  2.3562401 -1.4142136 -1.4142136
21  2.3561584  2.3561896  2.3562089  2.3562401 -1.4142136 -1.4142136
22  2.3561584  2.3561777  2.3561896  2.3562089 -1.4142136 -1.4142136
23  2.3561777  2.3561896  2.3561970  2.3562089 -1.4142136 -1.4142136
24  2.3561896  2.3561970  2.3562015  2.3562089 -1.4142136 -1.4142136
25  2.3561896  2.3561941  2.3561970  2.3562015 -1.4142136 -1.4142136
26  2.3561896  2.3561924  2.3561941  2.3561970 -1.4142136 -1.4142136
27  2.3561924  2.3561941  2.3561952  2.3561970 -1.4142136 -1.4142136
28  2.3561924  2.3561935  2.3561941  2.3561952 -1.4142136 -1.4142136
29  2.3561935  2.3561941  2.3561946  2.3561952 -1.4142136 -1.4142136
30  2.3561941  2.3561946  2.3561948  2.3561952 -1.4142136 -1.4142136
31  2.3561941  2.3561944  2.3561946  2.3561948 -1.4142136 -1.4142136
32  2.3561944  2.3561946  2.3561947  2.3561948 -1.4142136 -1.4142136
33  2.3561944  2.3561945  2.3561946  2.3561947 -1.4142136 -1.4142136
34  2.3561944  2.3561945  2.3561945  2.3561946 -1.4142136 -1.4142136
35  2.3561945  2.3561945  2.3561945  2.3561946 -1.4142136 -1.4142136
36  2.3561945  2.3561945  2.3561945  2.3561945 -1.4142136 -1.4142136
37  2.3561945  2.3561945  2.3561945  2.3561945 -1.4142136 -1.4142136
38  2.3561945  2.3561945  2.3561945  2.3561945 -1.4142136 -1.4142136
39  2.3561945  2.3561945  2.3561945  2.3561945 -1.4142136 -1.4142136
 minimum =  -1.4142135624  at x =   2.3561945147 >> 

[sylvi91]

Może dlatego, że k-dron ze złotym podziałem niewiele ma wspólnego?

Wykonałem prosty rysunek k-drona w Blenderze i dokonałem pomiarów.
Faktycznie, nie mogę tam znaleźć złotej liczby Phi.
Ale ta bryła, ma jakieś związki z fraktalem Mandelbrota i wykazuje się tam też związek ze złotym podziałem.
Znalazłem publikację dotycząca tej kwestii, na którą rzuciłem okiem, ale to nie jest prosty temat. Wrzucę Ci link do tego później.

Na upartego można stwierdzić, że z kolei srebrna proporcja niby zachowana jest.
Gdy popatrzymy na trójkątną sciankę bryły to mamy tam wartości \(\displaystyle{ 1 +1 + \sqrt{2} }\)
Ale nie wiem czy dobrze rozumuję.

Dodano po 29 minutach 27 sekundach:

Złoty podział \(\displaystyle{ r }\) ma wiele wspólnego z określaniem minimum funkcji unimodalnej \(\displaystyle{ f }\) w przedziale \(\displaystyle{ [a, b].}\)

Mamy następujący algorytm (podobny do metody bisekcji):

Do czego odnosi się ta litera \(\displaystyle{ r}\)? Domniemam, że chodzi o promień. Ale o jakiej figurze, czy bryle mówimy?

[3a174ad9764fefcb]

Do czego odnosi się ta litera \(\displaystyle{ r}\)? Domniemam, że chodzi o promień. Ale o jakiej figurze, czy bryle mówimy?

Domyślam się, że do proporcji, czyli angielskiego ratio.

[janusz47]

Do proporcji.

[dzialka11o]

Jako ciekawostka ;
Podwojony kosinus kąta 36 st.
jest równy złotej liczbie Fi .
T.W.

Dodano po 9 miesiącach 3 dniach 17 minutach 58 sekundach:
Tylko informacyjnie :
podwojony cosinus kąta 72 to wrtość = 0,618033988.... ,
podwojony cosinus kąta 36 to wartość = 1,618033989.... ,
podwojony sinus kata 54 to wartość = 1,618033989.... ,
Pozdrawiam T.W.