Skonstruuj 10-kąt foremny.

[madziaa963]

"Skonstruuj 10-kąt foremny mając dany jego bok. Opis konstrukcji i uzasadnienie." Pomoże ktoś?

[Mariusz M]

Z braku innych pomysłów można zacząć od konstrukcji pięciokąta foremnego
a następnie skorzystać z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku
aby podwoić liczbę boków

Jeśli chodzi o konstruowanie wielokątów o danej liczbie boków to znam dwa podejścia

1. Konstrukcja trójkąta równoramiennego gdzie podstawą jest bok o danej długości
a ramionami promień okręgu opisanego

2. Konstrukcja kąta przyległego do zewnętrznego
(Symetralne skonstruowanych w ten sposób dwóch boków wyznaczają środek okręgu opisanego
za pomocą którego można znaleźć resztę boków)

[kruszewski]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Dziesi%C4%99ciok%C4%85t_foremny

[kerajs]

Mając bok łatwo skonstruować promień okręgu opisanego:
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2}a(1+ \sqrt{5}) }\)
gdzie \(\displaystyle{ a \sqrt{5}}\) to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 2a}\)

[Mariusz M]

kruszewski , no fajnie tylko tam podana jest animacja dla wielokąta o danym promieniu
kerajs, a opis i uzasadnienie ?
Ja wyżej podałem dwa ogólne podejścia i sposób na podwojenie liczby boków

[kruszewski]

Część polecenia:
"... Opis konstrukcji i uzasadnienie."
Sama znajomość wzoru nie wystarcza na wykonanie tej części polecenia.

[kerajs]

kerajs, a opis i uzasadnienie ?

Jaki opis i uzasadnienie? Podałem punkt wyjścia i rozwiązanie jedynego problemiku. Reszta jest banalna.

Ja wyżej podałem dwa ogólne podejścia i sposób na podwojenie liczby boków

Nieskromnie napiszę, iż zrobiłem więcej niż Ty. Nawet po nieregulaminowej edycji postu.

kruszewski , no fajnie tylko tam podana jest animacja dla wielokąta o danym promieniu

Tak, tam jest konstrukcja przy znanym promieniu okręgu opisanego na 10-kącie. Co zabawne, bazuje ona na dokładnie tej samej równości co konstrukcja którą sugerowałem.
\(\displaystyle{ R= \frac{a}{2}(1+ \sqrt{5}) \ \ \Rightarrow \ \ a= \frac{R}{2}( \sqrt{5}-1) }\)

[kruszewski]

Odwrotnie, te zależności wynikają z konstrukcji tego wieloboku.

Dodano po 1 godzinie 35 minutach 46 sekundach:
Sposób wykorzystujący proporcje proste.
1. Znanym sposobem konstruujemy pięciokąt foremny.
2. Zauważamy, że dziesięciokąt foremny ma kąty między ramionami trójkątów równobocznych o wierzchołkach w środku okręgu miary równej połowie miary odpowiednich kątów w pięcioboku i to, że jednym z boków jest odpowiedni bok trójkąta.
Można zatem skonstruować taki ierzchołkowy kąt dla dziesięciokata a następnie bok dzisięciokąta wpisanego w ten (dowolny) krąg.
Kolejnym krokiem jest przeskalowanie rysunku w proporcji długości (miary kątów nie ulegają zmianie).

[kerajs]

Odwrotnie, te zależności wynikają z konstrukcji tego wieloboku.

Nie, to cechy tej figury, niezależne od sposobu ich poznania.

\(\displaystyle{ \sin 18^o= \frac{ \frac{a}{2} }{R} }\)
Wyliczę ten sinus.
Z \(\displaystyle{ (\cos x +i\sin x)^5=\cos 5x+i\sin 5x}\) mam
\(\displaystyle{ \cos 5x=\cos^5x-10\cos^3x \sin^2 x+5\cos x\sin^4x}\)
(oraz \(\displaystyle{ \sin 5x=sin^5x-10\cos^2x \sin^3 x+5\cos^4 x\sin x}\) )
\(\displaystyle{ 0=\cos 90^o=\cos 5 \cdot 18^o=\cos^518^o-10\cos^318^o (1-\cos^218^o)+5\cos 18^o(1-\cos^218^o)^2\\
0=16\cos^518^o-20\cos^318^o +5\cos 18^o\\
0=\cos 18^o(16(\cos^218^o)^2-20\cos^218^o +5)\\
\cos^2 18^o= \frac{5+ \sqrt{5} }{8} \\
\sin 18^o= \sqrt{1-\cos^2 18^o} = \sqrt{ \frac{6-2 \sqrt{5} }{16} }= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}
}\)
Wstawiając go do \(\displaystyle{ \sin 18^o= \frac{ \frac{a}{2} }{R} }\) uzyskuje się wzorek na którym bazuje i moja, i wikipediowa konstrukcja.

[kruszewski]

Cosik mi się zdaje, że konstruując złotą liczbę nie operowano takimi górnolotnymi równościami.
Divina proportio obywała się bez sinusów i jedynki urojonej.

[Mariusz M]

Nieskromnie napiszę, iż zrobiłem więcej niż Ty. Nawet po nieregulaminowej edycji postu.

Rzeczywiście nieskromnie w dodatku twoje stwierdzenie jest fałszywe
Poza tym jaka nieregulaminowa edycja wpisu ?
Już po edycji wpisu zauważyłem że coś tam napisaliście

A co nie zgadzasz się z tym że konstrukcja trójkąta równoramiennego którego podstawą jest odcinek o danej długości
a ramionami promienie okręgu opisanego będzie pomocna przy konstrukcji wielokąta
A może nie zgadzasz się z tym że konstrukcja kąta zewnętrznego (przyległego do wewnętrznego ) może być pomocna
Może w końcu nie zgadzasz się z tym że aby podwoić liczbę boków można skorzystać z twierdzenia o kącie środkowym
i wpisanym opartym na tym samym łuku

Jaki opis i uzasadnienie?

Chodziło o to że opis konstrukcji i uzasadnienie jej poprawności było w treści zadania
patrz pierwszy wpis w wątku

[kerajs]

Cosik mi się zdaje, że konstruując złotą liczbę nie operowano takimi górnolotnymi równościami.
Divina proportio obywała się bez sinusów i jedynki urojonej.

Co tylko potwierdza. iż do własności danej figury można dojść różnymi drogami. Oczywiście, zamiast wyliczać, mogłem wartość sinusa odczytać z tablic.

Poza tym jaka nieregulaminowa edycja wpisu ?
Już po edycji wpisu zauważyłem że coś tam napisaliście

I dlatego jest nieregulaminowa.

A co nie zgadzasz się z tym że konstrukcja trójkąta równoramiennego którego podstawą jest odcinek o danej długości
a ramionami promienie okręgu opisanego będzie pomocna przy konstrukcji wielokąta
A może nie zgadzasz się z tym że konstrukcja kąta zewnętrznego (przyległego do wewnętrznego ) może być pomocna
Może w końcu nie zgadzasz się z tym że aby podwoić liczbę boków można skorzystać z twierdzenia o kącie środkowym
i wpisanym opartym na tym samym łuku

Owszem, może nie tylko być pomocna, ale i zastosowana. Podobnie jak linijka może być pomocna i ołówek może być pomocny, i cyrkiel, i ................. . Problem w tym, że nie wskazałeś żadnej konkretnej konstrukcji.

Nieskromnie napiszę, iż zrobiłem więcej niż Ty. Nawet po nieregulaminowej edycji postu.

Rzeczywiście nieskromnie w dodatku twoje stwierdzenie jest fałszywe

Chciałbyś. Ja podałem konkret, a Ty same ogólniki. Nadal twierdzę iż ''zrobiłem więcej niż Ty''.

Chodziło o to że opis konstrukcji i uzasadnienie jej poprawności było w treści zadania
patrz pierwszy wpis w wątku

Napisałem ile chciałem. Uważam, że przeciętnemu uczniowi by to wystarczyło.

[kruszewski]

1. Własnością obiektu gemetrycznego ( i nie tylko jego) jest ta cecha, która nie ulega zmianie.
Pięciokąt foremny ma takie trzy.
Pierwsza, płaskość, czyli przynależność do płaszczyzny, druga to równość boków i trzecia to równość kątów w wierzchołkach.
Reszta jest wzorami, przepisami na relacje między odcinkami, polami i kątami innymi niż w wierzchołkach, wynikajacymi z tych trzech.
2. Polecenie skonstruowć w geometrii oznacza rozwiązanie przy pomocy liniału z podziałką, cyrkla i kątomierza. Jak sposobem pitagrejskim, to tylko lniałem bez podziałki i cyrkla.
Polecenie oblicz, to zastosuj sposoby algebraiczne przy znajomości twierdzeń geometrycznych.

Tak mnie 3/4 wieku temu uczono.

Uczniowi nie należy czynić w głowie zamentu.

[Mariusz M]

Zgoda że to co napisałem po edycji to ogólne spostrzeżenia przydatne do konstrukcji wielokąta
o ile potrafimy skonstruować kąt zewnętrzny (przyległy do wewnętrznego) bądź kąt środkowy
W przypadku pięciokąta do skonstruowania wyżej wspomnianych kątów przydatna
będzie tzw Divina proportio bądź jej odwrotność
Przed edycją napisałem aby zacząć od konstrukcji pięciokąta a następnie podwoić liczbę boków
przy czym podałem twierdzenie z którego należy skorzystać aby podwoić liczbę boków
Na innym forum podałem przykładową konstrukcję pięciokąta

Kod: Zaznacz cały

1.  Przez dane punkty A oraz B kreślimy prostą np f
2.  Kreślimy okrąg c o środku w punkcie B i promieniu AB
3.  Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej f (różnym od A)
4.  Kreślimy symetralną g odcinka BC
5.  Niech punkt D będze środkiem odcinka BC
6.  Kreślimy okrąg d o środku w punkcie D i promieniu AB
7.  Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu d i prostej g
8.  Przez punkty B oraz E kreślimy prostą h
9.  Kreślimy okrąg e o środku w punkcie E i promieniu BD
10. Niech punkt F będzie przecięciem okręgu e i prostej h na przedłużeniu odcinka BE
11. Kreślimy okrąg k o środku w punkcie B i promieniu BF
12. Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu k i prostej G (punkty G oraz E leżą po tej samej stronie prostej F)
13. Przez punkty B oraz G kreślimy prostą i

Trójkąt BGD jest pomocniczym trójkątem prostokątnym gdzie GBD jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta


Drugi etap - konstrukcja środka okręgu opisanego na pięciokącie

14. Niech punkt H będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej h (punkty G oraz H jeżą po tej samej stronie prostej f)
    Teraz mamy dwa boki pięciokąta
15. Kreślimy symetralną j odcinka BH
16. Kreślimy symetralną l odcinka AB
17. Niech punkt I pęcie punktem przecięcia symetralnych j oraz l
    Punkt I jest środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

Trzeci etap - wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków pięciokąta

18. Kreślimy okrąg p o środku w punkcie I oraz promieniu AI
19. Kreślimy okrąg q o środku w punkcie A i promieniu AB
20. Niech punkt J będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu q
21. Kreślimy okrąg r o środku w punkcie H i promieniu AB
22. Niech punkt K będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu r
23. Punkty A,B,H,K,J są wierzchołkami poszukiwanego pięciokąta foremnego

Jako że chcemy skonstruować dziesięciokąt to ograniczamy się do pierwszych dwóch etapów
a następnie kreślimy prostopadłą do AB przechodzącą przez środek okręgu opisanego na pięciokącie
Punkt przecięcia prostopadłej do AB z okręgiem opisanym na pięciokącie jest
środkiem okręgu opisanego na dziesięciokącie o danej długości boku


kruszewski mógłbym się założyć że dziadek kerajsa jest młodszy od ciebie
Dbaj o siebie abyś jeszcze długo mógł pomagać na tym forum

Dodano po 2 godzinach 45 minutach 36 sekundach:
kruszewski chyba jednak nie dałbym rady skonstruować dziesięciokąta według podanej przez ciebie propozycji

Jeżeli chodzi o ogólne wskazówki które zaprezentowałem po tzw nieregulaminowej edycji to uważam że są one potrzebne
bo bez nich lista kroków nie byłaby zrozumiała
Uczeń przeglądając listy kroków na takich wikipediach albo w tablicach nie zrozumie dlaczego ma wykonać taki a nie inny ciąg kroków
Znacznie lepiej jest gdy mu podzielimy konstrukcję na etapy , powiemy co na danym etapie chcemy osiągnąć
Możliwe że do boskiej proporcji nie używano funkcyj trygonometrycznych
Jeżeli chodzi o mnie to właśnie na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych wywnioskowałem że konstrukcja odcinka
o długości złotej liczby bądź jej odwrotności (złotą liczbę można odwrócić bez dzielenia) może być przydatna
do konstrukcji kąta o mierze \(\displaystyle{ 72^{\circ}}\)

Po skonstruowaniu pięciokąta
(a dokładniej środka okręgu opisanego na pięciokącie)
skorzystałem z twierdzenia o kątach środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku
aby znaleźć środek okręgu opisanego na dziesięciokącie

Podane przeze mnie ogólne wskazówki można wykorzystać do bezpośredniej konstrukcji dziesięciokąta
(bez wcześniejszej konstrukcji pięciokąta)
Kątem zewnętrznym który wtedy konstruujemy jest kąt \(\displaystyle{ 36^{\circ}}\)
Akurat tutaj tak się składa że kąt środkowy który tutaj możemy też skonstruować ma miarę równą mierze kąta zewnętrznego

[kruszewski]

Na rysunku który załączyłem niebiekimi kreskami narysowany jest znanym kreślarzowi sposobem dowolny pięciobok foremny.
Kąt środkowy oparty na łuku AB mierzy tyle ile mierzy kąt wpisany oparty na cięiwie miary boku pięcioboku. Stąd kąt środkowy dziesięcioboku jest już "wiadomy". Wystarczy translacja prostej do której przynależy przyprostokątna trójkąta którego drugim bokiem jest bok pięciokąta. Reszta zabiegów powinna być dobrze widoczna.
Prost jednakowego koloru są do siebie równoległe.