Konstrukcje geometryczne

Dział poświęcony konstrukcjom platońskim i nie tylko...
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Konstrukcje geometryczne

Post autor: Karolinaa0 »

Dane są trzy odcinki długości \(\displaystyle{ 1,a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Skonstruować za pomocą cyrkla i linijki odcinki długości \(\displaystyle{ ab, \frac{a}{b} }\) i \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\). Niestety nie mam pojęcia, jak zabrać się za to zadanie.
Kroki konstrukcji to :
1.Analiza zadania
2.Opis konstrukcji
3.Dowód poprawności konstrukcji
4.Badanie warunków istnienia i liczby rozwiązań
Z góry bardzo dziękuję za pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Konstrukcje geometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Najpierw pomyśleć, skąd wziąć odcinek danej długości, a potem - jak go skonstruować.

Spróbuj z tw. Talesa albo z trójkątem prostokątnym, którego wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 1}\).

JK

edit: poprawa złej wskazówki na dobrą.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Konstrukcje geometryczne

Post autor: kruszewski »

O pierwiastkowaniu cyrklem i liniałem:
Śladami Pitagorasa, S. Jeleński. ( wyd.PZWS 1953, str. 129 i kilka następnych).
Ale zasada jest taka, jaką wskazał P.T. Przedpiśca.
Karolinaa0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 266
Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Płock
Podziękował: 69 razy

Re: Konstrukcje geometryczne

Post autor: Karolinaa0 »

Dziękuję bardzo, spróbuję rozpracować te materiały

Dodano po 2 dniach 45 minutach 29 sekundach:
Udało mi się zrobić tyle. Nie wiem natomiast, jak zrobić pozostałe punkty: 1.Analiza zadania i 4.Badanie warunków istnienia i liczby rozwiązań. Z góry bardzo dziękuję.

Rysunek \(\displaystyle{ ab, a/b}\)


Opis konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ ab}\)
1.Kreślimy dwie proste \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) przecinające się w punkcie \(\displaystyle{ S}\)
2.Na prostej \(\displaystyle{ m}\) umieszczamy odcinek jednostkowy \(\displaystyle{ SD}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ b=DC}\) o początku w punkcie \(\displaystyle{ D}\) i w kierunku przeciwnym do \(\displaystyle{ S}\)
3.Na prostej \(\displaystyle{ l}\)umieszczamy odcinek \(\displaystyle{ a=SA}\)
4.Rysujemy odcinek \(\displaystyle{ AD}\)
5.Konstrukcyjnie rysujemy odcinek równoległy do odcinka \(\displaystyle{ AD}\) przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ C}\):
−Niech prosta \(\displaystyle{ k}\) będzie przedłużeniem odcinka \(\displaystyle{ AD}\)
−Rysujemy łuk o środku \(\displaystyle{ C}\), przecinający prostą \(\displaystyle{ k}\) w dwóch punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\)
−Rysujemy łuk o środku \(\displaystyle{ C}\) i promieniu \(\displaystyle{ EF}\), łuk o środku \(\displaystyle{ C}\) i promieniu \(\displaystyle{ CE=CA}\) oraz punkt ich
przecięcia – \(\displaystyle{ G}\)
−Rysujemy prostą \(\displaystyle{ n}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ G}\) oraz umieszczamy punkt \(\displaystyle{ B}\) będący punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ l }\)
Odcinek \(\displaystyle{ CB}\) jest odcinkiem równoległym do odcinka \(\displaystyle{ AD}\), a odcinek \(\displaystyle{ AB}\) oznaczmy jako \(\displaystyle{ x}\)

Dowód poprawności konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ ab}\)
Korzystając z twierdzenia Talesa możemy ułożyć równanie:
\(\displaystyle{ SA/SD=AB/DC \\
a:1=x:b \\
x=ab}\)



Opis konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ a/b}\)
1.Kreślimy dwie proste \(\displaystyle{ l}\) i \(\displaystyle{ m}\) przecinające się w punkcie \(\displaystyle{ S}\)
2.Na prostej \(\displaystyle{ m}\) umieszczamy odcinek jednostkowy \(\displaystyle{ SD}\)
3.Na prostej \(\displaystyle{ l}\) umieszczamy odcinek \(\displaystyle{ b=SA}\) odcinek \(\displaystyle{ a=AB}\) o początku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i w kierunku przeciwnym do punktu \(\displaystyle{ S}\)
4.Rysujemy odcinek \(\displaystyle{ AD}\)
5.Konstrukcyjnie rysujemy odcinek równoległy do odcinka \(\displaystyle{ AD}\) przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ B}\):
−Niech prosta k będzie przedłużeniem odcinka AD
−Rysujemy łuk o środku \(\displaystyle{ C}\), przecinający prostą \(\displaystyle{ k}\) w dwóch punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\)
−Rysujemy łuk o środku w punkcie \(\displaystyle{ B}\) i promieniu \(\displaystyle{ EF}\), łuk o środku \(\displaystyle{ F}\) i promieniu \(\displaystyle{ EB=BF}\) oraz punkt ich przecięcia – \(\displaystyle{ G}\)
−Rysujemy prostą \(\displaystyle{ n}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ G}\) oraz umieszczamy punkt \(\displaystyle{ C}\) będący punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\)
Odcinek \(\displaystyle{ CB}\) jest odcinkiem równoległym do odcinka \(\displaystyle{ AD}\), a odcinek \(\displaystyle{ DC}\) oznaczmy jako \(\displaystyle{ y}\)

Dowód poprawności konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ a/b}\)
Korzystając z twierdzenia Talesa możemy ułożyć równanie:
\(\displaystyle{ SA/SD=AB/DC \\
b:1=a:y \\
y=a/b}\)


Rysunek \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\)

Opis konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ \sqrt{a} }\)

1.Kreślimy prostą \(\displaystyle{ m}\), na której umieszczamy odcinki \(\displaystyle{ a=OA}\) oraz odcinek jednostkowy \(\displaystyle{ AB}\) zaczynając
od \(\displaystyle{ A}\) i w kierunku przeciwnym do \(\displaystyle{ O}\)
2.Wyznaczamy konstrukcyjnie środek odcinka \(\displaystyle{ OB}\), rysując łuki o środkach w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i
jednakowym promieniu takim, aby przecięły się w punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) (czyli o promieniu dłuższym od długości połowy odcinka \(\displaystyle{ AB}\))
3.Kreślimy prostą \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) i punkt przecięcia \(\displaystyle{ S}\) prostej \(\displaystyle{ m}\) i prostej \(\displaystyle{ k}\)
4.Kreślimy okrąg, o środku w punkcie \(\displaystyle{ S}\), którego średnicą jest odcinek \(\displaystyle{ OB}\).
5.Przez punkt \(\displaystyle{ A}\) prowadzimy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ OB}\), która przetnie okrąg w punkcie \(\displaystyle{ C}\).
−rysujemy łuk o środku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i promieniu takim, by przeciął prostą \(\displaystyle{ m}\) w dwóch różnych punktach ( na naszym rysunku w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\))
−rysujemy łuki o tym samym promieniu i środku odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) takim, aby przecięły
się w punktach \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ H}\) (czyli o promieniu dłuższym od długości połowy odcinka \(\displaystyle{ BD}\))
−rysujemy prostą \(\displaystyle{ GH}\), która jest prostopadła do odcinka \(\displaystyle{ OB}\), przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A}\) oraz przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ C}\)
6.Rysujemy trójkąt \(\displaystyle{ OBC}\), w którym kąt \(\displaystyle{ OCB}\) jest prosty zgodnie z twierdzeniem geometrii elementarnej, głoszącym, że kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest kątem prostym.

Dowód poprawności konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ \sqrt{a} }\)
Należy zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ OBC}\), \(\displaystyle{ OAC}\) i \(\displaystyle{ CAB}\) są podobne zgodnie z cechą podobieństwa trójkątów
kąt−kąt−kąt, gdyż \(\displaystyle{ ∢ OCB= ∢ CAO= ∢ CAB=90, ∢ CBO = ∢ OCA= ∢ CBA}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ ∢ COB= ∢ COA= ∢ OCB}\)
Niech \(\displaystyle{ AC=x}\), a więc z podobieństwa trójkątów mamy:
\(\displaystyle{ 1/x=x/a \\
x ^{2} =a \\
x= \sqrt{a} }\)
ODPOWIEDZ