Strona 1 z 1

Kwadratura koła

: 13 wrz 2019, o 10:55
autor: Brombal
Tak! Wiem zadanie jest nierozwiązywalne.
Ale w warunkach zadania NIE ma ograniczeń typu:
1. linijka musi mieć skończoną długość,
2. papier również ma skończona wielkość,
3. wykonawca musi mieć możliwość wykonać zadanie w skończonym czasie,

(abstrahuję od grubości linii, ostrza cyrkla czy ilości ołówków do zużycia)

Jeżeli przyjąć brak takich ograniczeń to zadanie jest jak najbardziej rozwiązywalne. Zresztą znalazłem rozwiązanie (kupa rysowania). Potwierdzenie poprawności rozwiązania, analitycznie, jest dla mojego rozwiązania dosyć łatwe, chociaż mozolne.
Pytanie brzmi: czy takie rozwiązanie gdzie linijka jest nieskończenie długa, papier nieskończenie wielki, wykonawca ma nieskończenie dużo czasu i cierpliwości, jest rozwiązaniem zadania? Co na to fachowcy od Matematyki ;-)? Warto to przedstawić jako ciekawostkę?
Pozdrawiam

Re: Kwadratura koła

: 13 wrz 2019, o 13:36
autor: Gosda
Kwadratura koła polega na skonstruowaniu odcinka o długości \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}}\). Jeśli masz nieskończenie wiele czasu (choć jest to sformułowanie trochę nieprecyzyjne), jest to możliwe.

1. Znaleźć rozwinięcie dwójkowe \(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
2. Rysujemy półprostą, zaznaczamy przy tym jej początek.
3. Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), odkładamy odcinek długości \(\displaystyle{ 2^{-n}}\) na naszej półprostej, z początkiem w końcu poprzedniego odcinka (albo początku półprostej, jeśli \(\displaystyle{ n = 0}\)) jeśli \(\displaystyle{ a_n = 1}\).

Po \(\displaystyle{ \aleph_0}\) krokach mamy gotowy odcinek. Ale wątpię, żeby z powyższego rozwiązania coś ciekawego wynikło.

Re: Kwadratura koła

: 13 wrz 2019, o 14:07
autor: Brombal
Linijka nie może mieć podziałki - taki jest warunek.
Skończyłem komplet rysunków
Tak jak napisałeś skonstruowałem odcinek \(\displaystyle{ \pi}\) następnie \(\displaystyle{ \sqrt{\pi}
}\)

Re: Kwadratura koła

: 14 wrz 2019, o 00:34
autor: Peter_85
To teraz koniecznie nam się pochwal, jak tego dokonałeś.

Re: Kwadratura koła

: 14 wrz 2019, o 07:52
autor: Gosda
Moja linijka nie ma podziałki, ale to nie problem. Zakładam tylko, że mam do dyspozycji odcinek jednostkowy.

Re: Kwadratura koła

: 14 wrz 2019, o 18:09
autor: kruszewski
Kiedyś o takiej linijce bez podziałki mówiło się liniał.

Liniał z naniesioną podziałką to przymiar liniowy.

Re: Kwadratura koła

: 14 wrz 2019, o 21:23
autor: Peter_85
No to czekamy z niecierpliwością na tę konstrukcję.

Re: Kwadratura koła

: 15 wrz 2019, o 15:12
autor: Brombal
Gosda pisze:
13 wrz 2019, o 13:36
...

1. Znaleźć rozwinięcie dwójkowe \(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
2. Rysujemy półprostą, zaznaczamy przy tym jej początek.
3. Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), odkładamy odcinek długości \(\displaystyle{ 2^{-n}}\) na naszej półprostej, z początkiem w końcu poprzedniego odcinka (albo początku półprostej, jeśli \(\displaystyle{ n = 0}\)) jeśli \(\displaystyle{ a_n = 1}\).
...
Nie znalazłem takiego rozwinięcia
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}}\)
Mógłbyś przybliżyć?

Re: Kwadratura koła

: 15 wrz 2019, o 17:16
autor: Gosda
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}_{10} = 1.1100010110..._2}\)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=c ... +to+base+2

Można użyć podstawy 10, nie 2, tylko wtedy trzeba dzielić pierwszy odcinek na dziesięć części, nie dwie, i ewentualnie odkładać ich krotności.

Re: Kwadratura koła

: 15 wrz 2019, o 21:53
autor: Brombal
\[\sqrt{\pi} = \sum_n a_n 2^{-n}\]
Zdaje się, że coś takiego ma wartość \(\displaystyle{ 2}\).

Re: Kwadratura koła

: 15 wrz 2019, o 22:43
autor: Gosda
Nie, bo \(\displaystyle{ a_n \in \{0, 1\}}\). Czasem zero, czasem jeden. Co więcej, jeśli uznać moje rozwiązanie, to każdą liczbę rzeczywistą (dodatnią) można przedstawić jako odcinek takiej długości.