Konstrukcja trójkąta równobocznego

[anna_]

Jak skonstruować trójkąt równoboczny?
Dane:
\(\displaystyle{ |PA|=5}\)

\(\displaystyle{ |PB|=4}\)

\(\displaystyle{ |PC|=3}\)

[kerajs]

Rozwiązanie siłowe:
Można analitycznie obliczyć bok takiego trójkąta. Są dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a_1= \sqrt{ 25-12\sqrt{3} } \vee a_2= \sqrt{ 25+12\sqrt{3} }}\) , ale tylko w drugim punkt P leży wewnątrz trójkąta. Konstrukcja \(\displaystyle{ a_2}\) pewnie dla Ciebie nie jest żadnym problemem.

[karolex123]

Moja propozycja:
Konstruujemy trójkąt \(\displaystyle{ PXC}\), w którym \(\displaystyle{ PX=4}\), \(\displaystyle{ XC=5}\) oraz \(\displaystyle{ PC=3}\) (łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny, choć nie ma to szczególnego znaczenia).Następnie budujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ PXB}\) tak, aby punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżały po przeciwnych stronach prostej \(\displaystyle{ PX}\). Można dowieść, że trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABC}\) taki, że punkty \(\displaystyle{ A}\) (punkt ten wymaga konstrukcji) oraz \(\displaystyle{ P}\) leżą po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ BC}\) spełnia warunki zadania (z punktem \(\displaystyle{ P}\) w jego wnętrzu).

[anna_]

Rozwiązanie siłowe:
Można analitycznie obliczyć bok takiego trójkąta. Są dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ a_1= \sqrt{ 25-12\sqrt{3} } \vee a_2= \sqrt{ 25+12\sqrt{3} }}\) , ale tylko w drugim punkt P leży wewnątrz trójkąta. Konstrukcja \(\displaystyle{ a_2}\) pewnie dla Ciebie nie jest żadnym problemem.

Chyba wkradł się mały błąd.
Ja mam:
\(\displaystyle{ a_1= -\sqrt{ 25+12\sqrt{3} } \ \ lub \ \ a_2= \sqrt{ 25+12\sqrt{3} }}\)
Czyli będzie tylko
\(\displaystyle{ \sqrt{ 25+12\sqrt{3} }}\)

[kruszewski]

Taka refleksja:

[kerajs]

Trójkąt o boku 2a wstawiam w układ współrzędnych: \(\displaystyle{ A=(-a,0) \ , \ B=(a,0) \ , \ C=(0,a \sqrt{3}) \ , \ P=(x,y)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{(x+a)^2+y^2}=5 \\ \sqrt{(x-a)^2+y^2}=4 \\ \sqrt{x^2+(y-a \sqrt{3})^2}=3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{9}{4a} \\ y= \sqrt{25-(\frac{9}{4a}+a)^2} \\ x^2+(y-a \sqrt{3})^2=9 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 16a^4-200a^2+193=0\\
a^2= \frac{25-12 \sqrt{3} }{4} \vee a^2= \frac{25+12 \sqrt{3} }{4}\\
a= \frac{1}{2} \sqrt{ 25-12 \sqrt{3} } \vee a= \frac{-1}{2} \sqrt{ 25-12 \sqrt{3} } \vee
a= \frac{1}{2} \sqrt{ 25+12 \sqrt{3} } \vee a= \frac{1}{2} \sqrt{ 25+12 \sqrt{3} }}\)
Są więc dwa możliwe dodatnie boki szukanego trójkąta:
\(\displaystyle{ a_1=2a= \sqrt{ 25-12 \sqrt{3} } \vee a_2= \sqrt{ 25+12 \sqrt{3} }}\)
ale tylko w drugim punkt P leży wewnątrz trójkąta.

odrzucone rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[dashed](-7,0)--(6,0);
\draw[dashed](0,-6)--(0,6);
\draw[](-0.1,1)--(0.1,1);
\draw[](1,-0.1)--(1,0.1);
\draw[](-0.1,-1)--(0.1,-1);
\draw[](-1,-0.1)--(-1,0.1);
\draw(-1.02668,0)--(1.02668,0)--(0,1.778)--(-1.02668,0);
\draw[green](-1.02668,0)circle(5);
\fill [green](-1.02668,0)circle(0.06);
\draw[red](1.02668,0)circle(4);
\fill [red](1.02668,0)circle(0.06);
\draw[blue](0,1.778)circle(3);
\fill [blue](0,1.778)circle(0.06);
\end{tikzpicture}}\)

Inna konstrukcja:
Wysokość trójkąta równobocznego o boku 4 przedłużam o 6 dostając odcinek \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}+6}\) który będzie średnicą okręgu. Konstruuję cięciwę prostopadłą do tej średnicy i przechodzącą przez wierzchołek trójkąta. Jeśli jej połowa oraz odcinek o długości 5 będą przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego to przeciwprostokątna będzie bokiem szukanego trójkąta równobocznego. Można wymyślić też inne konstrukcje skoro zna się długość szukanego boku.

[Mariusz M]

Konstrukcja \(\displaystyle{ a_2}\) pewnie dla Ciebie nie jest żadnym problemem.

kerajs to zadanie wygląda bardziej jakby było wrzucone dla innych użytkowników forum
niż dla użytkownika anna_,

Od jednego z końców danego odcinka odkładamy odcinek o długości jednostkowej
Wykreślamy symetralną tak utworzonego odcinka i zaznaczamy punkt przecięcia symetralnej
z dzielonym odcinkiem , ten punkt będzie środkiem okręgu który wykreślimy
Promieniem okręgu będzie zaś odcinek
o końcach w punkcie będącym środkiem dzielonego odcinka oraz w jednym z jego końców

kerajs, ja chyba też wybrałbym to siłowe rozwiązanie

Konstruując trójkąt równoboczny o boku o długości 24
dostajemy również prostą prostopadłą do jednego z boków tego trójkąta i przechodzącą
przez jeden z wierzchołków ,zaznaczamy punkt przecięcia prostopadłej z bokiem trójkąta przez
który przechodzi
Wystarczy teraz odłożyć od jednego z końców tego odcinka odłożyć odcinek o długości 25
i zastosować konstrukcję średniej geometrycznej z odcinkiem o długości jednostkowej

Otrzymamy wtedy odcinek o długości którą obliczył kerajs

[kruszewski]

Konstrukcja trójkąta którego wierzchołki odległe są od punktu P o odległości (\(\displaystyle{ a, b, c}\)), odległość \(\displaystyle{ r}\) punktu \(\displaystyle{ P}\) od jednego z boków trójkąta i zadanym jednym z kątów.

[anna_]

Trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 3,4, a}\) ma kąt przy wierzchołku rozwarty między bokami \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) równy \(\displaystyle{ 150^o}\).
Z twierdzenia cosinusów wychodzi
\(\displaystyle{ a_1= -\sqrt{ 25+12\sqrt{3} } \ \ lub \ \ a_2= \sqrt{ 25+12\sqrt{3} }}\)

[kruszewski]

Na szkicu wyraźnie zaznaczony jest kąt przy wierzchołu (trójkąta). Natomiast odległość \(\displaystyle{ r}\) jest dowolna, nie jest zadaną w treści zadania. Zadana jest równość kątów i równość boków. To narzuca dodatkowe waunki niż tyko odległości a, b, c i jeden kąt. Stąd :

Sposób (424582.htm#p5508320) podany przez p. kerajsa jest efektywny ale i efektowny a w zadaniu jest polecenie skonstruuj, czyli wykonaj konstrukcję a ta jest zawsze geometryczna.
Nie ma zatem problemu z wykonaniem polecenia.
Ewentualnie można poprosić p. kerajsa o wyjaśnienie powodów tak prowadzonej konstrukcji.

[anna_]

Podaję skrócony opis i rysunek pomocniczy do konstrukcji.
Może komuś się przyda.

1. Konstruujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. (XPC)
2. Na przyprostokątnych konstruujemy odpowiednio trójkąty równoboczne. (APX i PCB)
3. Prowadzimy półprostą PE (E środek przeciwprostokątnej)
3. Kreślimy okrąg o środku P i promieniu 5.
4. Łączymy punkty ABC

Trójkąt ABC jest trójkątem równoboczny.

[kerajs]

kerajs to zadanie wygląda bardziej jakby było wrzucone dla innych użytkowników forum niż dla użytkownika anna_

Czyli to zadanie z puentą: A teraz zobaczcie jak łatwo można wykonać tę konstrukcję.

wyjaśnienie powodów tak prowadzonej konstrukcji.

Zwykle konstrukcja bazuje na własnościach figur, związkach miarowych i/lub innych zależnościach. Tu, przy zadanych trzech odległościach, nie miałem (i nadal nie mam) pomysłu na taką bezpośrednią konstrukcję. Dlatego zwyczajnie wyliczyłem długość szukanego boku trójkąta, a konstrukcja geometryczna odcinka znanej już długości zwykle nie jest żadnym problemem.

Dlatego raczej nie mnie, a Annę i Karola należałoby zapytać o wyjaśnienie powodów tak prowadzonej konstrukcji.

Konstrukcja z rysunku Anny jest prawdziwa dla każdej trójki odcinków \(\displaystyle{ 2p,2q, 2\sqrt{p^2+q^2}}\) bo:
\(\displaystyle{ 4p^2+4q^2+4pq \sqrt{3}= a^2=(p \sqrt{3}+q )^2+(p+q \sqrt{3} )^2=\\=p^2+(p \sqrt{3}+2q )^2=(2p+q \sqrt{3} )^2+q^2}\)
ale co ciekawsze, gdyby trójkąty równoboczne (niebieski i zielony) budować w drugą stronę stronę to otrzyma się drugie rozwiązanie, gdzie punkt P leży poza trójkątem.
\(\displaystyle{ 4p^2+4q^2-4pq \sqrt{3}=b^2=(p \sqrt{3}-q )^2+(p-q \sqrt{3} )^2=\\=p^2+(2q-p \sqrt{3} )^2=(2p-q \sqrt{3})^2+q^2}\)

Dla dowolnych odcinków p,q,r rozwiązywalność zagadnienia zależy od znaku wyrażenia
\(\displaystyle{ D=6(p^2q^2+p^2r^2+q^2r^2)-3(p^4+q^4+r^4)}\)
a) brak rozwiązania dla \(\displaystyle{ D<0}\)
b) jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ D=0}\) :
\(\displaystyle{ a= \sqrt{ \frac{p^2+q^2+r^2}{8} }}\)
c) dwa rozwiązania dla \(\displaystyle{ D>0}\) :
\(\displaystyle{ a_1= \sqrt{ \frac{p^2+q^2+r^2+ \sqrt{D} }{8} }}\)
\(\displaystyle{ a_2= \sqrt{ \frac{p^2+q^2+r^2- \sqrt{D} }{8} }}\)
(tu \(\displaystyle{ a_2}\) jest zawsze dodatni prócz przypadku \(\displaystyle{ p=q=r}\) kiedy przyjmuje wartość 0)