Dany jest punkt wewnątrz równoległoboku, nieleżący na odcinkach łączących środki przeciwległych boków. Ile istnieje odcinków o końcach na bokach równoległoboku, dla którego dany punkt jest środkiem?
A więc wybrałam odpowiedni punkt, odbiłam symetrycznie odpowiednie ramiona, poznajdowałam odpowiednie odcinki. Wyszło mi, że tylko jeden i że zależy to od położenia punktu. Nie potrafię jednak tego udowodnić. Ktoś pomoże?
-- 12 maja 2017, o 22:25 --
Nikt nie ma pomysłu?-- 15 maja 2017, o 15:35 --Podbijamy.
Odcinki o końcach na bokach równoległoboku.
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Odcinki o końcach na bokach równoległoboku.
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie danym równoległobokiem. Jako się rzekło, wystarczy rozważyć symetrię środkową względem danego punktu i sprawdzić, w ilu punktach brzeg równoległoboku \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) przecina brzeg \(\displaystyle{ ABCD}\) .
Zastanówmy się w tym celu, ile wierzchołków równoległoboku \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) może się znaleźć wewnątrz \(\displaystyle{ ABCD}\) . Załóżmy, że choćby dwa z nich, np. \(\displaystyle{ A', B'}\) , znalazły się wewnątrz. Niech \(\displaystyle{ E, F}\) będą punktami przecięcia prostej \(\displaystyle{ A'B'}\) odpowiednio z prostymi \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) . Mamy \(\displaystyle{ AF\parallel BE}\) i \(\displaystyle{ AB\parallel EF}\) , więc czworokąt \(\displaystyle{ AFEB}\) jest równoległobokiem. Stąd \(\displaystyle{ AB=EF>A'B'}\) . Sprzeczność.
Sprawdzimy, że nie jest również możliwe, aby wszystkie cztery znalazły się na zewnątrz. Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ EFGH}\) będą dowolnymi rozłącznymi, przystającymi równoległobokami, takimi że pary boków równoległych w jednym są równoległe do odpowiadających im boków w drugim. (Jest to warunek konieczny tego, aby były symetryczne względem pewnego środka, bo symetria środkowa zachowuje równoległość prostych).
Pewien bok jednego z nich i równoległy do niego bok drugiego wyznaczają pas, w którym nie leży żaden z równoległoboków.
To stwierdzenie jest dość jasne, ale nie potrafię go precyzyjnie uzasadnić. Jeśli ktoś mógłby pomóc, to świetnie.
Niech tymi bokami będą \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ EF}\) . Dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie zorientowany dodatnio, a \(\displaystyle{ EFGH}\) ujemnie.
Zauważmy, że czworokąt \(\displaystyle{ ABEF}\) jest równoległobokiem. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie jego środkiem. Obrazami punktów \(\displaystyle{ A, B}\) w symetrii środkowej względem \(\displaystyle{ S}\) są oczywiście odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) . Sprawdzimy, że również pozostałe wierzchołki \(\displaystyle{ ABCD}\) przechodzą na wierzchołki \(\displaystyle{ EFGH}\) .
Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ EFG}\) są przystające na mocy cechy bkb. Stąd \(\displaystyle{ AC=EG}\) . Ponadto \(\displaystyle{ \angle BAE=\angle FEA}\) i \(\displaystyle{ \angle CAB=\angle GEF}\) , więc \(\displaystyle{ \angle CAS=\angle GES}\) . A zatem trójkąty \(\displaystyle{ CAS}\) i \(\displaystyle{ GES}\) są przystające na mocy bkb.
Punkty \(\displaystyle{ C,S,G}\) są więc współliniowe i \(\displaystyle{ CS=GS}\) , przeto punkt \(\displaystyle{ G}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ C}\) w symetrii względem \(\displaystyle{ S}\) . Analogicznie przekonujemy się o symetryczności punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ H}\) .
Tym samym znaleźliśmy symetrię środkową przeprowadzającą jeden równoległobok na drugi, której środek leży poza każdym z nich, a taka symetria może być najwyżej jedna (obrazy trzech niewspółliniowych punktów wyznaczają izometrię jednoznacznie). Nie jest zatem możliwe, aby przy pewnej symetrii względem środka leżącego wewnątrz danego równoległoboku przeszedł on na równoległobok z nim rozłączny.
Widzimy więc, że możliwość jest tylko jedna: dokładnie jeden wierzchołek równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przejdzie przy symetrii na punkt leżący wewnątrz. Niech to będzie punkt \(\displaystyle{ A'}\) . Wtedy boki \(\displaystyle{ A'B'}\) i \(\displaystyle{ A'D'}\) przecinają boki równoległoboku w dwóch punktach - \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) . Oznaczmy jeszcze przez \(\displaystyle{ x}\) bok, na którym leży \(\displaystyle{ E}\) . Zauważmy, że \(\displaystyle{ B'}\) znajduje się w tej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez \(\displaystyle{ x}\) , w której nie leży równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) . Prosta \(\displaystyle{ B'C'}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ x}\) , a zatem również znajduje się w tej półpłaszczyźnie, czyli nie przecina równoległoboku. Stosując tę samą argumentację, można stwierdzić, że \(\displaystyle{ C'D'}\) również nie przecina równoległoboku.
Stąd jedynym poszukiwanym odcinkiem jest \(\displaystyle{ EF}\) , a przy okazji widzimy, jak go skonstruować.
Zastanówmy się w tym celu, ile wierzchołków równoległoboku \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) może się znaleźć wewnątrz \(\displaystyle{ ABCD}\) . Załóżmy, że choćby dwa z nich, np. \(\displaystyle{ A', B'}\) , znalazły się wewnątrz. Niech \(\displaystyle{ E, F}\) będą punktami przecięcia prostej \(\displaystyle{ A'B'}\) odpowiednio z prostymi \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) . Mamy \(\displaystyle{ AF\parallel BE}\) i \(\displaystyle{ AB\parallel EF}\) , więc czworokąt \(\displaystyle{ AFEB}\) jest równoległobokiem. Stąd \(\displaystyle{ AB=EF>A'B'}\) . Sprzeczność.
Sprawdzimy, że nie jest również możliwe, aby wszystkie cztery znalazły się na zewnątrz. Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ EFGH}\) będą dowolnymi rozłącznymi, przystającymi równoległobokami, takimi że pary boków równoległych w jednym są równoległe do odpowiadających im boków w drugim. (Jest to warunek konieczny tego, aby były symetryczne względem pewnego środka, bo symetria środkowa zachowuje równoległość prostych).
Pewien bok jednego z nich i równoległy do niego bok drugiego wyznaczają pas, w którym nie leży żaden z równoległoboków.
To stwierdzenie jest dość jasne, ale nie potrafię go precyzyjnie uzasadnić. Jeśli ktoś mógłby pomóc, to świetnie.
Niech tymi bokami będą \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ EF}\) . Dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie zorientowany dodatnio, a \(\displaystyle{ EFGH}\) ujemnie.
Zauważmy, że czworokąt \(\displaystyle{ ABEF}\) jest równoległobokiem. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie jego środkiem. Obrazami punktów \(\displaystyle{ A, B}\) w symetrii środkowej względem \(\displaystyle{ S}\) są oczywiście odpowiednio punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) . Sprawdzimy, że również pozostałe wierzchołki \(\displaystyle{ ABCD}\) przechodzą na wierzchołki \(\displaystyle{ EFGH}\) .
Trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ EFG}\) są przystające na mocy cechy bkb. Stąd \(\displaystyle{ AC=EG}\) . Ponadto \(\displaystyle{ \angle BAE=\angle FEA}\) i \(\displaystyle{ \angle CAB=\angle GEF}\) , więc \(\displaystyle{ \angle CAS=\angle GES}\) . A zatem trójkąty \(\displaystyle{ CAS}\) i \(\displaystyle{ GES}\) są przystające na mocy bkb.
Punkty \(\displaystyle{ C,S,G}\) są więc współliniowe i \(\displaystyle{ CS=GS}\) , przeto punkt \(\displaystyle{ G}\) jest obrazem punktu \(\displaystyle{ C}\) w symetrii względem \(\displaystyle{ S}\) . Analogicznie przekonujemy się o symetryczności punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ H}\) .
Tym samym znaleźliśmy symetrię środkową przeprowadzającą jeden równoległobok na drugi, której środek leży poza każdym z nich, a taka symetria może być najwyżej jedna (obrazy trzech niewspółliniowych punktów wyznaczają izometrię jednoznacznie). Nie jest zatem możliwe, aby przy pewnej symetrii względem środka leżącego wewnątrz danego równoległoboku przeszedł on na równoległobok z nim rozłączny.
Widzimy więc, że możliwość jest tylko jedna: dokładnie jeden wierzchołek równoległoboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przejdzie przy symetrii na punkt leżący wewnątrz. Niech to będzie punkt \(\displaystyle{ A'}\) . Wtedy boki \(\displaystyle{ A'B'}\) i \(\displaystyle{ A'D'}\) przecinają boki równoległoboku w dwóch punktach - \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) . Oznaczmy jeszcze przez \(\displaystyle{ x}\) bok, na którym leży \(\displaystyle{ E}\) . Zauważmy, że \(\displaystyle{ B'}\) znajduje się w tej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez \(\displaystyle{ x}\) , w której nie leży równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\) . Prosta \(\displaystyle{ B'C'}\) jest równoległa do \(\displaystyle{ x}\) , a zatem również znajduje się w tej półpłaszczyźnie, czyli nie przecina równoległoboku. Stosując tę samą argumentację, można stwierdzić, że \(\displaystyle{ C'D'}\) również nie przecina równoległoboku.
Stąd jedynym poszukiwanym odcinkiem jest \(\displaystyle{ EF}\) , a przy okazji widzimy, jak go skonstruować.