konstrukcja trójkąta z dwóch środkowych i kąta

[Smilek22]

Skonstruować trójkąt mając dane środkowe \(\displaystyle{ m_a}\), \(\displaystyle{ m_b}\) i kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).
Ktoś pomoże?

[Smilek22]

Nikt nie ma pomysłu?

[Majeskas]

Tę konstrukcję na pewno da się wykonać algebraicznie. Geometrycznie to sam jestem ciekaw

[timon92]

rysujemy odcinek \(\displaystyle{ AK}\) długości \(\displaystyle{ m_a}\), to będzie docelowo środkowa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) który chcemy skonstruować

konstruujemy okrąg \(\displaystyle{ o_1}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ K}\) taki, że kąt oparty na \(\displaystyle{ AK}\) jest równy mierze kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) - to w miarę łatwo zrobić; na tym okręgu gdzieś leży punkt \(\displaystyle{ C}\)

konstruujemy okrąg \(\displaystyle{ o_2}\) symetryczny do \(\displaystyle{ a_1}\) względem \(\displaystyle{ K}\); na tym okręgu leży \(\displaystyle{ B}\), bo \(\displaystyle{ C}\) jest do niego symetryczny względem \(\displaystyle{ K}\) i leży na \(\displaystyle{ o_1}\)

konstruujemy punkt \(\displaystyle{ G}\) na odcinku \(\displaystyle{ AK}\) dzielący go w stosunku \(\displaystyle{ AG : GK = 2 : 1}\) - to jest środek ciężkości szukanego trójkąta

kreślimy okrąg \(\displaystyle{ o_3}\) o środku \(\displaystyle{ G}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac 23 m_b}\) - punkt \(\displaystyle{ B}\) lezy także na tym okręgu

punkt \(\displaystyle{ B}\) jest którymś punktem przecięcia okręgów \(\displaystyle{ o_2, o_3}\)

punkt \(\displaystyle{ C}\) jest przecięciem prostej \(\displaystyle{ BK}\) i okręgu \(\displaystyle{ o_1}\)

[kropka+]

Inny sposób:
Z jakich wierzchołków wychodzą środkowe \(\displaystyle{ m _{a}}\) i \(\displaystyle{ m _{b}}\)?
W każdym razie zrób rysunek poglądowy. Narysuj dowolny trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) i środkowe jego boków \(\displaystyle{ AA _{1},BB _{1},CC _{1}}\). Połącz ze sobą punkty \(\displaystyle{ A _{1}B _{1} C _{1}}\). Zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ A _{1}B _{1} C _{1}}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) w skali \(\displaystyle{ 1:2}\). Ponieważ nie wiem, które środkowe są dane, to powiem, że jeśli znamy środkową \(\displaystyle{ CC _{1}}\) to konstruujemy równoległobok \(\displaystyle{ C _{1} A _{1} CB _{1}}\) Chodzi o to, żeby skonstruować równoległobok znając jego przeciwległe kąty i jedną przekątną. Dalej już łatwo.

[Majeskas]

rysujemy odcinek \(\displaystyle{ AK}\) długości \(\displaystyle{ m_a}\), to będzie docelowo środkowa trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) który chcemy skonstruować

konstruujemy okrąg \(\displaystyle{ o_1}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ K}\) taki, że kąt oparty na \(\displaystyle{ AK}\) jest równy mierze kąta przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\) - to w miarę łatwo zrobić; na tym okręgu gdzieś leży punkt \(\displaystyle{ C}\)

Ładne. Tyle że w tym miejscu powinniśmy raczej skonstruować łuki Talesa, bo to one są zbiorem wszystkich punktów, z których odcinek \(\displaystyle{ AK}\) widać pod kątem \(\displaystyle{ ACB}\). I potem wykonujemy symetrię tych łuków względem \(\displaystyle{ K}\).

Z kolei z tego, co pisze kropka+, niewiele, moim zdaniem, wynika. Przez \(\displaystyle{ m_a}\) rozumie się zazwyczaj środkową opuszczoną na bok \(\displaystyle{ a}\) (z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\)). Dlatego środkowa \(\displaystyle{ CC_1}\) jest akurat żadną z tych, które mamy dane.

Chodzi o to, żeby skonstruować równoległobok znając jego przeciwległe kąty i jedną przekątną. Dalej już łatwo.

Ja nie widzę, żeby o to chodziło.

[Smilek22]

Super. Dziękuję Timon92 i Majeskas.-- 12 maja 2017, o 19:54 --Majeskas, timon92, zerknęlibyście również na to zadanie: 421213.htm ?