Trójkąt równoramienny a równoboczny

[kinia7]

Dany jest trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABC}\). Skonstruować trójkąt równoboczny o takim samym polu.
Jak się do tego zabrać?

-- 22 maja 2016, o 22:07 --

Narysowałam trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Co dalej?

[kerajs]

Pewnie można łatwiej, ale lepsze to niż nic.

Dla danego trójkąta szukasz boku kwadratu o takim samym polu. Na prostej odkładasz połowę podstawy trójkąta (odcinek czerwony) i wysokość (zielony ) . Szukasz środka sumy tych boków, zataczasz łuk i dostajesz bok(niebieski) kwadratu o polu równym polu trójkata.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [red](1,0)--(4,0);
\draw [green](1,0)--(-4,0);
\draw (0,0)circle(0.05);
\draw[brown](4,0)arc(0:180:4);
\draw [blue](1,0)--(1,3.873);
\end{tikzpicture}}\)
Dla dowolnego trójkąta równobocznego szukasz analogicznie boku kwadratu o równym mu polu, ale połowę podstawy trójkąta (odcinek czerwony) i wysokość (zielony) odkładasz na prostej po obu stronach uzyskanego wcześniej pionowego odcinka.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (1,0)--(4,0);
\draw (1,0)--(-4,0);
\draw (4,0)arc(0:180:4);
\draw (1,0)--(1,3.873);
\draw [red](1,0)--(3,0);
\draw [green](1,0)--(-2.464,0);
\draw[brown](3,0)arc(0:180:2.732);
\draw [blue](1,0)--(1,2.63);
\draw [red](1,2.63)circle(0.05);
\draw (0.268,0)circle(0.05);
\draw [red](1,3.873)circle(0.05);
\draw [red](3,0)circle(0.05);
\end{tikzpicture}}\)
Teraz z tw. Talesa wyznaczasz połowę szukanego boku (odcinek pomarańczowy) trójkąta równobocznego.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (1,0)--(4,0);
\draw (1,0)--(-4,0);
\draw (4,0)arc(0:180:4);
\draw (1,0)--(1,3.873);
\draw (1,0)--(3,0);
\draw (1,0)--(-2.464,0);
\draw (3,0)arc(0:180:2.732);
\draw (1,0)--(1,2.63);
\draw (1,2.63)circle(0.05);
\draw (1,3.873)circle(0.05);
\draw (3,0)circle(0.05);
\draw [red](3,0)--(1,2.63);
\draw [red](3.945,0)--(1,3.873);
\draw [orange](3.945,0)--(1,0);
\end{tikzpicture}}\)

--------------------------------------

Inaczej:
Konstrukcja oparta na zależnosci: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ah= \frac{x^2 \sqrt{3} }{4} \Rightarrow x^2=( \frac{h \sqrt{3} }{3} ) \cdot (2a)}\)

Wysokością danego trójkąta (odcinek czerwony) tworzę trójkąt równoboczny i promień (zielony) okręgu na nim opisanego.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw [red](-3,1.732)--(-3,-1.732)--(0,0)--cycle;
\draw (-3.5,0)--(8.5,0);
\draw [blue](-2,0)circle(0.05);
\draw [green](-2,0)--(0.0);
\draw [brown](-3,-1.732)--(-1.5,0.866);
\end{tikzpicture}}\)
Do zielonego odcinka dokładam dwie długości (czerwona i niebieska) podstawy danego trójkąta.
Zataczam półkole oparte na średnicy z nich złożonej, i konstruuję pionowy (brązowy) odcinek będący bokiem szukanego trójkąta równobocznego
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-3,1.732)--(-3,-1.732)--(0,0)--cycle;
\draw (-3.5,0)--(-2,0);
\draw (-2,0)circle(0.05);
\draw [green](-2,0)--(0.0);
\draw [blue](4,0)--(8,0);
\draw (8,0)--(8.5,0);
\draw (-3,-1.732)--(-1.5,0.866);
\draw (3,0)circle(0.05);
\draw [red](0,0)--(4,0);
\draw [brown](0,0)--(0,4);
\draw [orange](8,0)arc(0:180:5);
\end{tikzpicture}}\)

[kinia7]

Dzięki. Pierwszy sposób coś nie działa, ale drugi jest super.

[SlotaWoj]

@Kinia7
Do pierwszego sposobu można zrobić stosowne wyprowadzenie i jest OK.
Sposób ten przetestowałem też graficznie i przy starannym rysowaniu pozwala on osiągnąć wysoką dokładność (błąd boku ok. \(\displaystyle{ 0,0035\%}\)).
Przypuszczam, że drugi sposób pod względem możliwej do osiągnięcia dokładności jest równoważny pierwszemu.

[kinia7]

@ Jan Kraszewski

"ABC" nie jest "wyrażeniem matematycznym"