Na okręgu dane są różne punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Wyznaczyć zbiór
i) środków wpisanych okręgów
ii) barycentrów
iii) ortocentrów
trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) gdy \(\displaystyle{ C}\) jest dowolnym punktem na tym okręgu (różnym od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)).
Rozwiąże to w kolejności od najłatwiejszego do najtrudniejszego.
Ukryta treść:
Oznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) przed \(\displaystyle{ D}\), Środki łuku \(\displaystyle{ AB}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ E,F}\)
ii) Barycentrum
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie barycentrum \(\displaystyle{ ABC}\), Wtedy \(\displaystyle{ \frac{DG}{DC}=\frac{1}{3}}\) Więc jednokładność o skali\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) przekształca punkt \(\displaystyle{ C}\) na punkt \(\displaystyle{ G}\). Punkt \(\displaystyle{ C}\) może leżeć na danym okręgu(oprócz punktów \(\displaystyle{ A,B}\)), więc obraz tej figury(okręgu bez \(\displaystyle{ A,B}\)) w jednokładności daje zbiór możliwych pozycji \(\displaystyle{ G}\).
iii) Ortocentrum
Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Z prostej Eulera wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{OH}{OG}=\frac{3}{1}}\) oraz, że punkt \(\displaystyle{ G}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ H}\). Oznacza to, że jednokładność o skali \(\displaystyle{ 3}\) w punkcie \(\displaystyle{ O}\) przekształci \(\displaystyle{ G}\) na \(\displaystyle{ H}\). Zbiór możliwych pozycji \(\displaystyle{ G}\)(który już znamy) zostanie w tej jednokładności przekształcony na zbiór możliwych pozycji \(\displaystyle{ H}\).
i)środków wpisanych okręgów
Oznaczmy środek okręgu wpisanego przez \(\displaystyle{ I}\). Jeżeli punkt \(\displaystyle{ C}\) znajduje się na łuku \(\displaystyle{ AB}\) na którym jest punkt \(\displaystyle{ E}\), to z twierdzenia o trójliściu wiemy, że punkt \(\displaystyle{ I}\) leży na okręgu o środku w \(\displaystyle{ E}\) i promieniu \(\displaystyle{ EA}\). W szczególności punkt \(\displaystyle{ I}\) znajduje się na łuku \(\displaystyle{ AB}\)(bez \(\displaystyle{ A,B}\)) tego okręgu, który znajduje się po przeciwnej stronie \(\displaystyle{ AB}\) niż punkt \(\displaystyle{ E}\). To wyznacza wszystkie pozycje \(\displaystyle{ I}\), gdy \(\displaystyle{ C}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AEC}\), bo na każdej półprostej o początku \(\displaystyle{ E}\) i przecinającej odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest punkt \(\displaystyle{ I}\) oraz punkt \(\displaystyle{ I}\) nie leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AB}\), co punkt \(\displaystyle{ E}\). Analogicznie robimy, gdy punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na łuku \(\displaystyle{ AFB}\). Suma tych dwóch figur daje poszukiwany zbiór.
