Okąg punkt i prosta

[mol_ksiazkowy]

Dany jest okrąg i punkt \(\displaystyle{ A}\). Skonstuować prostą \(\displaystyle{ l}\) taką, że \(\displaystyle{ A \in l}\) i która ma punkty wspólne z tym okręgiem \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\)
takie, że \(\displaystyle{ AB=BC}\).

Ukryta treść:    

Kiedy taka prosta nie istnieje...?

[marcin7Cd]

Jeżeli punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu to każda prosta \(\displaystyle{ l}\) nie styczna do okręgu spełnia warunek. Rozważmy, więc przypadek, gdy punkt \(\displaystyle{ A}\) nie leży na okręgu.
Wtedy wszystkie takie proste przechodzą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i przecięcie
1)okręgu jednokładnego do danego okręgu w skali \(\displaystyle{ 2}\) względem punktu \(\displaystyle{ A}\)
2) danego okręgu
Dowód poprawności:

Ukryta treść:    

Zauważmy, że Punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą po przeciwnej stronie punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\) (gdyby leżały po tej samej stronie to \(\displaystyle{ A=C}\), a \(\displaystyle{ A}\) nie należy do okręgu). Jeżeli \(\displaystyle{ l}\) spełnia warunek, to Jednokładność w \(\displaystyle{ A}\) o skali 2 przekształca \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ C}\) (\(\displaystyle{ AC=BC+AB=2AB}\)). Oznacza to, że punkt C jest przecięciem okręgu i jego obrazu w jednokładności. Jeżeli \(\displaystyle{ G}\) jest przecięciem okręgu i jego obrazu w jednokładności, to istnieje punkt \(\displaystyle{ H}\) na danym okręgu, że jego obrazem jest punkt G. Wtedy z definicji jednokładności A,H,G są współliniowe, \(\displaystyle{ AH=HG}\) oraz punkty \(\displaystyle{ H}\) i \(\displaystyle{ G}\) należą do tego okręgu. Z tego wynika, że prosta \(\displaystyle{ AG}\) to szukana prosta.

Oznaczmy promień tego okręgu przez r, a jego środek przez O. Taka prosta l istniej wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ r \le AO \le 3r}\), co można łatwo udowodnić.

[Michalinho]

Wyżej jest ładniejsza od mojej, ale zamieszczę swoją.
1) Poprowadzić styczną z punktu \(\displaystyle{ A}\) w punkcie \(\displaystyle{ S}\).
2) Poprowadzić biegunową.
3) Przekształcić punkt \(\displaystyle{ S}\) w jednokładności o skali \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i środku \(\displaystyle{ A}\).
4) Poprowadzić prostą \(\displaystyle{ k}\) równoległą do biegunowej przez punkt \(\displaystyle{ S}\).
5) Przez punkty przecięcia \(\displaystyle{ k}\) z okręgiem prowadzimy proste przechodzące przez \(\displaystyle{ A}\).
Otrzymane w ostatnim punkcie proste spełniają założenia.

Dowód poprawności:    

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie punktem przecięcia szukanej prostej z biegunową. Z własności biegunowej mamy \(\displaystyle{ (A, D; B, C)=-1\Leftrightarrow \frac{AB}{DB}:\frac{AC}{DC}=-1\Rightarrow \frac{DC}{DB}=-2}\). Stąd \(\displaystyle{ |DC|=2|DB|}\) i po prostych rachunkach \(\displaystyle{ \frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}}\).
Wystarczy więc wykorzystać Talesa, żeby znaleźć punkt \(\displaystyle{ C}\).

Kiedy konstrukcja nie będzie możliwa? W sytuacjach skrajnych zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{|AO|}{|AS|}=\frac{\frac{3}{2}|AS|}{|AO|+2r}\Rightarrow \frac{3}{2}|AS|^2=|AO|^2+2r|AO|}\) i korzystając z Pitagorasa otrzymujemy \(\displaystyle{ |AO|=r\vee |AO|=3r}\).
To znaczy, że konstrukcja jest możliwa wtedy, gdy \(\displaystyle{ |AO|\in \left\langle r; 3r\right\rangle}\)

[SidCom]

Jeżeli punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu to każda prosta \(\displaystyle{ l}\) nie styczna do okręgu spełnia warunek.

Nieprawda.

[marcin7Cd]

Nie, to jest Prawda

jak punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu to któryś z punktów \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\) pokrywa się z \(\displaystyle{ A}\). Nie sprecyzowano, który to może być punty, więc wybierając, że jest to \(\displaystyle{ C}\) otrzymuje \(\displaystyle{ A=C}\). W szczególności odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) się pokrywają, więc ich długości są równe. Można pominąć założenie o nie styczność \(\displaystyle{ l}\) jeżeli się przyjmie, że w takim przypadku \(\displaystyle{ B=C}\) i dopuszcza się odcinki o zerowej długości.

[SidCom]

Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) leży na okręgu to "każda prosta \(\displaystyle{ l}\) niestyczna do okręgu" nie zawiera punktu \(\displaystyle{ A}\) więc nie spełnia warunku zadania.
Ty mówisz o stycznej do okręgu w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Z definicji ma ona z okręgiem jeden punkt wspólny, więc nie spełnia warunków zadania.
Twoje rozważania są poprawne w sensie przejścia granicznego, gdy \(\displaystyle{ A \leftarrow B \leftarrow C}\). (Strzałki pokazują, że \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) zmierzają do \(\displaystyle{ A}\)).
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{A \leftarrow B \leftarrow C} AB=BC=0}\)

[marcin7Cd]

Tobie chodzi, że nie powiedziałem, że prosta \(\displaystyle{ l}\) musi przechodzić przez \(\displaystyle{ A}\)?

Jeszcze trzeba zauważyć, że w zadaniu nie ma nic o tym, że punkty są różne.

[mol_ksiazkowy]

Możnaby też z potęgi punktu względem okręgu: \(\displaystyle{ AB=x}\) i \(\displaystyle{ 2x^2 = a^2}\)
tj. \(\displaystyle{ x= \frac{a}{\sqrt{2}}}\), gdzie
\(\displaystyle{ AS=a}\) a \(\displaystyle{ AS}\) jest styczną do okregu z punktu \(\displaystyle{ A}\).