Trzy punkty i okrąg

Dział poświęcony konstrukcjom platońskim i nie tylko...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dany jest okrąg i trzy punkty \(\displaystyle{ A, B, P}\) na zewnątrz niego.
Skonstruować prostą \(\displaystyle{ a}\) taką, że \(\displaystyle{ A \in a}\) oraz prostą \(\displaystyle{ b}\) taką, że \(\displaystyle{ B \in b}\), tak aby cięciwy \(\displaystyle{ A_1B_1}\) gdzie \(\displaystyle{ A_1A_2 \subset a}\) oraz \(\displaystyle{ A_2B_2}\) gdzie \(\displaystyle{ B_1B_2 \subset b}\) miały \(\displaystyle{ P}\) jako punkt wspólny.

rysunek:
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: SlotaWoj »

Trzeba poprowadzić proste prze punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\), symetryczne do \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) względem prostej \(\displaystyle{ PO}\) (\(\displaystyle{ O}\) – środek okręgu).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: mol_ksiazkowy »

poprowadzić proste prze punkty A i B oraz A' i B', symetryczne do A i B względem prostej
Możnaby to jakoś narysować i uzasadnić...?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: SlotaWoj »

Jestem w błędzie.
To co zaproponowałem uprzednio tylko w szczególnym przypadku prowadzi do rozwiązania zadania/
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: Michalinho »

Znalazłem tą konstrukcję. Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie biegunową punktu \(\displaystyle{ P}\) względem okręgu i \(\displaystyle{ M=l\cap AB}\).
Od razu wspomnę, że konstrukcja nie jest możliwa, gdy punkty \(\displaystyle{ A, B}\) leżą po jednej stronie prostej \(\displaystyle{ k}\).
Przejdę teraz do konstrukcji.
1. Skonstruować punkt \(\displaystyle{ K}\) sprzężony harmonicznie do \(\displaystyle{ M}\) względem pary \(\displaystyle{ (A,B)}\).
2. Poprowadzić prostą \(\displaystyle{ PK}\), przecinającą prostą \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\).
I to już w zasadzie koniec, bo wtedy \(\displaystyle{ a=AX, b=BX}\). Jeśli proste \(\displaystyle{ AX}\) lub \(\displaystyle{ BX}\) nie mają punktów wspólnych z okręgiem, to konstrukcja również nie jest możliwa.
Dowód poprawności:    
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: SidCom »

Michalinho,

co to za prosta \(\displaystyle{ l}\) oraz jak skonstruować punkt \(\displaystyle{ K}\) (cyrkiel - nie teoria \(\displaystyle{ (A,B;M,K)=1}\))?
Ostatnio zmieniony 8 sie 2015, o 23:45 przez SidCom, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Michalinho
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 495
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 104 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: Michalinho »

Oczywiście powinno być \(\displaystyle{ k}\) zamiast \(\displaystyle{ l}\). Konstrukcji punktu \(\displaystyle{ K}\) może być wiele. Dwie podałem w tym temacie:
392608.htm
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

Trzy punkty i okrąg

Post autor: SidCom »

Dzięki. Ja próbowałem wymęczyć stosowne proporcje Talesem...
ODPOWIEDZ