Skonstruuj dwusieczną

[Ania221]

Nie umiem zrobić rysunku w żadnym programie, a jak wkleję zdjęcie, to znowu dostanę ostrzeżenie

[kruszewski]

Konstrukcja ciekawa, ale ponownie część konstrukcji po za rysunkiem.
Trudno "celnąć" punktem A na jednym z ramion kąta tak, by cała konstrukcja pomieściła się na arkuszu.
Z szacunkiem,
W.Kr.

[Michalinho]

To ja wymyśliłem dość efektywne rozwiązanie. Będę korzystać z oznaczenia yorgina.
1. Wybieramy dowolny punkt \(\displaystyle{ A}\) na prostej \(\displaystyle{ k}\).
2. Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ m}\) równoległą do \(\displaystyle{ l}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\).
3. Konstruujemy dwusieczną \(\displaystyle{ p}\) kąta \(\displaystyle{ km}\).
4. Prowadzimy prostopadłą do \(\displaystyle{ p}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A}\) przecinającą \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ B}\).
5. Symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\) jest szukaną dwusieczną.

[yorgin]

Michalinho, dobre, nie zauważyłem tego.

Temat zrobił się bardzo interesujący ze względu na ilość różnych rozwiązań tego samego problemu.

[Dario1]

Naturalnych rozwiązań było już sporo, niemniej dorzucę jeszcze swoje.

Niech \(\displaystyle{ xy}\) oznacza kąt ostry pomiędzy prostymi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

1. Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ m}\) równoległą do \(\displaystyle{ l}\) przecinającą \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\).

2. Wyznaczamy dwusieczną kąta \(\displaystyle{ km}\).

3. Wewnątrz kąta \(\displaystyle{ km}\) prowadzimy prostą prostopadłą do ramiona \(\displaystyle{ k}\). Prosta ta przecina \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ m}\) w \(\displaystyle{ C}\) oraz dwusieczną \(\displaystyle{ km}\) w \(\displaystyle{ D}\).

4. Prowadzimy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A}\). Przecina ona \(\displaystyle{ l}\) w \(\displaystyle{ E}\).

5. Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ EC}\), która przecina \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ F}\), oraz \(\displaystyle{ FD}\), która przecina \(\displaystyle{ AE}\) w \(\displaystyle{ S}\).

6. Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ kl}\).


Poprawność konstrukcji wynika z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ EAF}\) oraz \(\displaystyle{ CBF}\).

Yorgin możesz jakoś lepiej to rozpisać bo do końca nie rozumiem tej konstrukcji i nie widzę tego, że z podobieństwa trójkątów wynika należenie S do dwusiecznej.

[yorgin]

Jeżeli proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Z}\) poza kartką, to \(\displaystyle{ ZEF}\) i \(\displaystyle{ ACF}\) są podobne. Podobnie są podobne poprzednio wymienione. Dwusieczna \(\displaystyle{ mk}\) jest równoległa do dwusiecznej \(\displaystyle{ lk}\), bo odpowiednie ramiona kątów są równoległe.

Skoro trójkąty \(\displaystyle{ EAF}\) i \(\displaystyle{ CBF}\) są podobne, to dwusieczne kątów \(\displaystyle{ CAF}\) i \(\displaystyle{ EZF}\) dzielą ich wysokości, odpowiednio \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AE}\) takim samym stosunku. Teraz z podobnieństwa ponownie mamy, że \(\displaystyle{ BF:BD=AF:AS}\) oraz wiemy już, że \(\displaystyle{ D}\) jest miejscem przecięcia dwusiecznej \(\displaystyle{ mk}\) z \(\displaystyle{ BC}\). Zatem \(\displaystyle{ S}\) jest miejscem przecięcia dwusiecznej \(\displaystyle{ lk}\) z \(\displaystyle{ EA}\).