Skonstruuj dwusieczną

[Dario1]

Dane są dwie proste przecinajće się k i l przy czym punkt przecięcia sie tych prostych leży poza kartka na ktorej sa narysowane. Skonstruuj dwusieczną jednego z kątów między tymi prostymi.

[Michalinho]

Przecinamy te proste prostymi \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\). Wyznaczamy dwusieczne powstałych kątów. Przez punkty przecięcia się tych dwusiecznych prowadzimy prostą. Korzystając z tego, że dwusieczne w trójkącie przecinają się w jednym punkcie, wiemy że powstała prosta jest dwusieczną.

[a4karo]

Metoda dobra, o ile te punkty się mieszczą na kartce

[Ania221]

Wewnątrz kąta prowadzę prostą \(\displaystyle{ k'rownoleglak}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ k}\) i prostą \(\displaystyle{ l'rownoleglal}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ l}\)

[Dilectus]

Może tak:

Narysuj dwie proste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), takie, że \(\displaystyle{ a\perp k \ \wedge b\perp l}\) tak, żeby się przecinały na kartce w jakimś punkcie \(\displaystyle{ O}\). Oznaczmy punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ a}\) z prostą \(\displaystyle{ k}\) jako \(\displaystyle{ A}\), a punkt przecięcia prostej \(\displaystyle{ a}\) z prostą \(\displaystyle{ l}\) - jako \(\displaystyle{ B}\).
Kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych są równe. Skonstruuj dwusieczną otrzymanego kąta. Szukana dwusieczna kąta, którego wierzchołek leży poza kartką będzie prostopadła do dwusiecznej kąta utworzonego przez proste \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (dlaczego?) i będzie przechodziła przez środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\).

[Michalinho]

Dilectus nie rozumiem Twojego rozumowania. Jeśli chodzi ci o to, że rysujemy dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle AOB}\), to będzie ona równoległa, a nie prostopadła. A dwusieczna której szukamy wcale nie musi przechodzić przez środek \(\displaystyle{ AB}\), w ogólności nie przechodzi.

[Dilectus]

Michalinho, moje rozumowanie zaczyna się od stwierdzenia, że dwusieczne kątów o ramionach wzajemnie prostopadłych są wzajemnie prostopadłe. Jeśli tak, to:

1. Rysuję kąt o ramionach prostopadłych do prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) taki, żeby jego wierzchołek mieścił się na kartce.

2. Konstruuję dwusieczną narysowanego w p-kcie 1 kąta.

3. Rysuję prostą prostopadłą do dwusiecznej tego kąta w taki sposób, żeby z pewnością przechodziła przez wierzchołek tego wyjściowego kąta (wierzchołek ten wypada poza kartką).

Narysowana w p-kcie 3 prosta będzie dwusieczną wyjściowego kąta (tego, którego wierzchołek wypada poza kartką).

[Michalinho]

Teraz już zrozumiałem, ale wyraziłeś się nieściśle, bo kąt przyległy do tego co miałeś na myśli również ma ramiona prostopadłe do ramion kąta wyjściowego, a jego dwusieczna będzie równoległa

Ja za to znalazłem jeszcze inne rozwiązanie:
1. Wybieramy dowolny punkt \(\displaystyle{ P}\) wewnątrz kąta.
2. Odbijamy go symetrycznie względem ramion. Powstaje nam teraz trójkąt \(\displaystyle{ PP'P''}\).
3. Prowadzimy dwusieczne kątów \(\displaystyle{ PP'P''}\) i \(\displaystyle{ PP''P'}\), które przetną nam dalsze ramiona w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
4. Środek \(\displaystyle{ M}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\) leży na szukanej dwusiecznej.
5. Rzutujemy punkt \(\displaystyle{ M}\) na ramiona, otrzymując punkty \(\displaystyle{ M', \ M''}\).
6. Środek \(\displaystyle{ S}\) odcinka \(\displaystyle{ M'M''}\) leży na dwusiecznej, a więc prosta \(\displaystyle{ SM}\) jest szukaną dwusieczną.

W tym rozwiązaniu wykorzystuje się znany fakt, że przecięcie dwusiecznej i symetralnej przeciwległego boku leży na okręgu opisanym oraz to, że środek cięciwy leży na dwusiecznej kąta środkowego opartego na tej cięciwie.

[a4karo]

Michalinho, moje rozumowanie zaczyna się od stwierdzenia, że dwusieczne kątów o ramionach wzajemnie prostopadłych są wzajemnie prostopadłe. Jeśli tak, to:

1. Rysuję kąt o ramionach prostopadłych do prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) taki, żeby jego wierzchołek mieścił się na kartce.

2. Konstruuję dwusieczną narysowanego w p-kcie 1 kąta.

3. Rysuję prostą prostopadłą do dwusiecznej tego kąta w taki sposób, żeby z pewnością przechodziła przez wierzchołek tego wyjściowego kąta (wierzchołek ten wypada poza kartką).

Narysowana w p-kcie 3 prosta będzie dwusieczną wyjściowego kąta (tego, którego wierzchołek wypada poza kartką).

Ad 2: ten kąt ma dwie dwusieczne. O której mowa?
Ad 3. Jaka masz metodę na narysowanie prostej przechodzącej przez ten niedostępny punkt?

[Michalinho]

Ad 3. Jaka masz metodę na narysowanie prostej przechodzącej przez ten niedostępny punkt?

propozycja:    

Jeśli oznaczymy przecięcia dwusiecznej z punktu 2. z ramionami kąta jako \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to prosta prostopadła do odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i przechodząca przez jego środek będzie dwusieczną.

[Dilectus]

Ad 3. Jaka masz metodę na narysowanie prostej przechodzącej przez ten niedostępny punkt?

Na przykład tak:

Dwusieczna kąta utworzonego przez proste prostopadłe do prostych wyjściowych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) przecina te proste w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Prosta prostopadła do tej dwusiecznej poprowadzona przez środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) z pewnością przejdzie przez istniejący poza kartką wierzchołek kąta i będzie jego dwusieczną.

[kruszewski]

Rysując (konstruując) proste równoległe do odpowiednich ramion kąta jednakowo od nich odległe otrzymuje się kąt ...... , który można już przepołowić a co widać na dołączonym szkicu. ( w dwu wykonaniach konstrukcji).

W.Kr.

[Ania221]

Wewnątrz kąta prowadzę prostą \(\displaystyle{ k'rownoleglak}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ k}\) i prostą \(\displaystyle{ l'rownoleglal}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ l}\)

Dokładnie to proponowałam

Ale bardzo mi się podoba pierwsza konstrukcja zaproponowana przez Michalinho, jest bardzo elegancka i prosta (moja jest bardziej siermiężna )

[kruszewski]

Wewnątrz kąta prowadzę prostą \(\displaystyle{ k'rownoleglak}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ k}\) i prostą \(\displaystyle{ l'rownoleglal}\) w odległości \(\displaystyle{ d}\) od \(\displaystyle{ l}\)

Dokładnie to proponowałam

Ale bardzo mi się podoba pierwsza konstrukcja zaproponowana przez Michalinho, jest bardzo elegancka i prosta (moja jest bardziej siermiężna )

Bez rysunku wzrokowcom trudno ocenić urodę.
Nie wnoszę o uznanie mojego za wynalazek z pierwszeństwem. Może tylko zawiera on trochę więcej informacji które przekonują do sposobu. W geometrii rysunek jest ciekawszy. W poezji słowa niż czcionka.
Pozdrawiam,
W.Kr.

[yorgin]

Naturalnych rozwiązań było już sporo, niemniej dorzucę jeszcze swoje.

Niech \(\displaystyle{ xy}\) oznacza kąt ostry pomiędzy prostymi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

1. Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ m}\) równoległą do \(\displaystyle{ l}\) przecinającą \(\displaystyle{ k}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\).

2. Wyznaczamy dwusieczną kąta \(\displaystyle{ km}\).

3. Wewnątrz kąta \(\displaystyle{ km}\) prowadzimy prostą prostopadłą do ramiona \(\displaystyle{ k}\). Prosta ta przecina \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ m}\) w \(\displaystyle{ C}\) oraz dwusieczną \(\displaystyle{ km}\) w \(\displaystyle{ D}\).

4. Prowadzimy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A}\). Przecina ona \(\displaystyle{ l}\) w \(\displaystyle{ E}\).

5. Prowadzimy prostą \(\displaystyle{ EC}\), która przecina \(\displaystyle{ k}\) w \(\displaystyle{ F}\), oraz \(\displaystyle{ FD}\), która przecina \(\displaystyle{ AE}\) w \(\displaystyle{ S}\).

6. Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ kl}\).


Poprawność konstrukcji wynika z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ EAF}\) oraz \(\displaystyle{ CBF}\).