Konstrukcja odcinka

Dział poświęcony konstrukcjom platońskim i nie tylko...
virtue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 3 cze 2012, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

Konstrukcja odcinka

Post autor: virtue »

Czy da się skonstruować odcinek długości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[4]{3}}{x}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x>0}\)
szw1710

Konstrukcja odcinka

Post autor: szw1710 »

Odcinek długości \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) chyba da się skonstruować - muszę sprawdzić. Odcinek o długości będącej iloczynem danych długości też się konstruuje. A więc wszystko rozbija się o konstrukcję odcinka o długości \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3}}\). W sumie więc trzeba umieć skonstruować odcinek o długości \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\). To też się chyba robi.

Reasumując: do sprawdzenia jest czy da się skonstruować odcinki długośći \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\) przy dowolnie danych \(\displaystyle{ x,y>0}\).

Konstrukcja odcinka \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) jest łatwa: rysujemy kąt prosty o ramionach \(\displaystyle{ x}\) poziomo i \(\displaystyle{ 1}\) pionowo. Ryzujemy przeciwprostokątną. Teraz wystawiamy do niej prostopadłą w końcu odcinka długości \(\displaystyle{ 1}\). Przedłużamy poziomy odcinek do przecięcia tej prostopadłej. Więc odcinek długości \(\displaystyle{ 1}\) jest wysokością trójkąta prostokątnego. Dzieli ona przeciwprostokątną (tę poziomą) na odcinki \(\displaystyle{ x}\) i... właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\). Możesz sprawdzić. Lepiej to narysować, ale nie dysponuję taką ilością czasu.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2015, o 20:18 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
virtue
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 3 cze 2012, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 32 razy

Konstrukcja odcinka

Post autor: virtue »

Czyli, by skonstruować odcinek \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3}}\) to można narysować trójkąt prostokątny, poprowadzić wysokość od kąta prostego i jeśli odcinki na jakie dzieli wysokość będą miały \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)i 1 to wysokość będzie\(\displaystyle{ \sqrt[4]{3}}\) i konstrukcja gotowa ?
szw1710

Konstrukcja odcinka

Post autor: szw1710 »

Świetnie!!! Zaznaczamy \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) na jednej prostej, mamy średnicę, rysujemy okrąg, mamy kąt prosty. Spuszczamy wysokość z jego wierzchołka - ma wysokość \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\). Powtarzasz konstrukcję i masz \(\displaystyle{ \sqrt[4]{y}}\).

Albo rzeczywiście bezpośrednio z \(\displaystyle{ y=\sqrt{3}}\), ale \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) wymaga konstrukcji \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), więc też trzeba rysować.

Robimy tak: w poziomie zaznaczamy odcinek długości \(\displaystyle{ 4}\) i dzielimy go na \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\). Rysujemy okrąg na średnicy \(\displaystyle{ 4}\) i mamy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). W pionie przedłużamy ten odcinek o \(\displaystyle{ 1}\) i mamy nową średnicę. Więc wszystko można załatwić na jednym rysunku.

Od iloczynu łątwiej skonstruować iloraz. Rysujesz dowolny kąt. Na jednym ramieniu odnierzasz \(\displaystyle{ 1}\) i teraz przedłużasz odcinek i odmierzasz jeszcze raz od początku \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3}>1}\). Więc masz odcinki \(\displaystyle{ OA=1}\) i \(\displaystyle{ OB=\sqrt[4]{3}}\). Na drugim ramieniu odmierzasz \(\displaystyle{ OC=x}\). Dalej korzystasz z twierdzenia Talesa.

Reasumując: konstruujemy \(\displaystyle{ \sqrt[4]{3}}\), z twierdzenia Talesa dostaniemy \(\displaystyle{ u=\frac{x}{\sqrt[4]{3}}}\) i teraz konstrukcja odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{u}}\) w opisany sposób. Więc da się
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Konstrukcja odcinka

Post autor: kerajs »

Dla mnie treść:
virtue pisze:Czy da się skonstruować odcinek długości \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[4]{3}}{x}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x>0}\)
nie oznacza że odcinek o długości \(\displaystyle{ x}\) jest zadany, co stanowi nienapisane założenie konstrukcji odcinka \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) w poscie Pana Szw1710 .
Wtedy, dla niektórych liczb niewymiernych \(\displaystyle{ x}\), konstrukcja szukanego odcinka będzie niemożliwa z powodu niekonstruowalności zarówno odcinka \(\displaystyle{ x}\), jak i odcinka \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\).
Przykłady odcinków, jak mi się wydaje, niemożliwych do skonstruowania :
\(\displaystyle{ \frac { \sqrt[4]{3} }{ \pi } , \frac { \sqrt[4]{3} }{ \ln2 } , \frac { \sqrt[4]{3} }{ \sqrt[3]{2} } ,}\) etc.
szw1710

Konstrukcja odcinka

Post autor: szw1710 »

Można by to tak zinterpretować. Ale powiedzmy, że jakaś wartość poznawcza jednak jest. Odpowiedź na pytanie: czy dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) można skonstruować ... jest oczywiście negatywna. Przy danym \(\displaystyle{ x}\) jest pozytywna. Ściślej więc, mój post rozwiązuje zadanie o takiej treści:

Pokazać, że jeśli odcinek długości \(\displaystyle{ x>0}\) da się skonstruować cyrklem i linijką, to także odcinek o długości \(\displaystyle{ \frac{\sqrt[4]{3}}{x}}\) da się skonstruować cyrklem i linijką.
ODPOWIEDZ