Konstruowanie kąta
-
Atawizm49
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 21 lut 2012, o 20:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 2 razy
Konstruowanie kąta
Mając dany \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}}\) udowodnij tę równość i skonstruuj kąt podanej funkcji trygonometrycznej.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Konstruowanie kąta
Dowód może tak:
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{2} =1\\\sin 5\frac{ \pi }{10} =1\\
5\cos^4 \frac{ \pi }{10} \sin \frac{ \pi }{10} -10 \cos^2 \frac{ \pi }{10} \sin^3 \frac{ \pi }{10}+ \sin^5 \frac{ \pi }{10}=1\\5(1-\sin^2 \frac{ \pi }{10})^2 \sin \frac{ \pi }{10} -10(1-\sin ^2 \frac{ \pi }{10}) \sin^3 \frac{ \pi }{10}+ \sin^5 \frac{ \pi }{10}=1}\)
Niech \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{10} =t}\) to równanie ma postać
\(\displaystyle{ 5(1-t^2)^2t-10(1-t^2)t^3+t^5=1}\)
Należy sprawdzić czy \(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}}\) jest pierwiastkiem tego równania
Przykładowa konstrukcja:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to przekątna prostokąta o bokach 2 i 1. Cyrklem od jednego z jej końców odejmujesz 1 dostając szukaną przyprostokątną. Na jednym jej końcu rysujesz postopadła a z drugiej zataczasz łuk o długości 4 (przeciwprostokatna) którego przecięcie z prostopadłą dawqierzchołek szukanego kąta.
\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{2} =1\\\sin 5\frac{ \pi }{10} =1\\
5\cos^4 \frac{ \pi }{10} \sin \frac{ \pi }{10} -10 \cos^2 \frac{ \pi }{10} \sin^3 \frac{ \pi }{10}+ \sin^5 \frac{ \pi }{10}=1\\5(1-\sin^2 \frac{ \pi }{10})^2 \sin \frac{ \pi }{10} -10(1-\sin ^2 \frac{ \pi }{10}) \sin^3 \frac{ \pi }{10}+ \sin^5 \frac{ \pi }{10}=1}\)
Niech \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{10} =t}\) to równanie ma postać
\(\displaystyle{ 5(1-t^2)^2t-10(1-t^2)t^3+t^5=1}\)
Należy sprawdzić czy \(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{5}-1 }{4}}\) jest pierwiastkiem tego równania
Przykładowa konstrukcja:
\(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) to przekątna prostokąta o bokach 2 i 1. Cyrklem od jednego z jej końców odejmujesz 1 dostając szukaną przyprostokątną. Na jednym jej końcu rysujesz postopadła a z drugiej zataczasz łuk o długości 4 (przeciwprostokatna) którego przecięcie z prostopadłą dawqierzchołek szukanego kąta.