dwa boki i środkowa względem trzeciego

[Cicha1103]

Zbudować trójkąt mając dane jego dwa boki i środkową względem trzeciego boku.

[Chewbacca97]

Jak rozumieć pojęcie "środkowa względem boku"?

[kerajs]

Dla mnie to środkowa wychodząca ze wspólnego wierzchołka danych boków.

Mam pomysł na konstrukcję, ale nie jest zbyt szybka.
Wstęp:
Niech trójkąt ma boki a,b,c i środkową s zaczepiona w srodku boku c.
Kąty między s i c to \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 180- \alpha}\).
Z twierdzenia kosinusów dla dwóch trójkątów na które środkowa podzieliła dany trójkąt mam
\(\displaystyle{ a^2=s^2+( \frac{c}{2} )^2-2s\frac{c}{2}\cos \alpha \\b^2=s^2+( \frac{c}{2} )^2-2s\frac{c}{2}\cos (180 ^{\circ}- \alpha)}\)
Dodając je stronami mam
\(\displaystyle{ a^2+b^2=2s^2+2 \frac{c^2}{4} \Rightarrow c^2=2a^2+2b^2-4s^2}\)

Konstrukcja:
Rysujesz środkową. Z jednego z jej końców zataczasz dwa łuki. Jeden o długośći a, drugi o długości b. Drugi koniec środkowej jest środkiem okręgu o boku c/2. Przecięcie okręgu z łukami da wierzchołki szukanego trójkąta.
Ale jak skonstruować odcinek c?
Wiesz że \(\displaystyle{ c^2=2a^2+2b^2-4s^2}\)
Niech \(\displaystyle{ k^2=2a^2+2b^2}\) to \(\displaystyle{ c^2=k^2-4s^2=(k-2s)(k+2s)}\)
Wpierw skonstuujesz odcinek k.
Na przeciwprostokatnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b budujesz kwadrat. Jego przekątna to szukana k.
Teraz dopiero konstrukcja odcinka c z zależności \(\displaystyle{ c^2=(k-2s)(k+2s)}\)
Na prostej zaznaczasz odcinki k-2s i k+2s tak aby miały wspólny koniec. Przez niego przeprowadzasz prostą prostopadłą do zaznaczonych odcinków. Teraz łukiem o długości k zataczasz półokrąg którego podstawą są odcinki k-2s i k+2s. Przecięcie tego łuku z prostą prostopadłą daje szukany odcinek c. Teraz możesz zastosować konstrukcje trójkata o której pisałem wcześniej.

[yorgin]

kerajs, to była armata...

Ja nie będę nic pisać, za to zrobię rysunek przy założeniu, że trójkąt jest skonstruowany. Z niego widać, co trzeba zrobić.

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm]
\clip(2.86,3.35) rectangle (18.94,12.1);
\draw (5.22,5.06)-- (8.26,10.6);
\draw (8.26,10.6)-- (13.78,6.38);
\draw (13.78,6.38)-- (5.22,5.06);
\draw (8.26,10.6)-- (9.5,5.72);
\draw (9.5,5.72)-- (11.02,8.49);
\draw (9.5,5.72)-- (6.74,7.83);
\draw (9.03,8.65) node[anchor=north west] {$m_c$};
\draw (9.69,10.00) node[anchor=north west] {$\frac{b}{2}$};
\draw (6.8,9.73) node[anchor=north west] {$\frac{a}{2}$};
\draw (5.37,7.27) node[anchor=north west] {$\frac{a}{2}$};
\draw (12.04,8.14) node[anchor=north west] {$\frac{b}{2}$};
\draw (7.51,7.76) node[anchor=north west] {$\frac{b}{2}$};
\draw (10.54,7.62) node[anchor=north west] {$\frac{a}{2}$};
\begin{scriptsize}
\fill (13.78,6.38) circle (1.5pt);
\draw (13.88,6.58) node {$A$};
\fill (5.22,5.06) circle (1.5pt);
\draw (5.34,5.25) node {$B$};
\fill (8.26,10.6) circle (1.5pt);
\draw (8.37,10.79) node {$C$};
\fill (9.5,5.72) circle (1.5pt);
\draw (9.61,5.91) node {$D$};
\fill (11.02,8.49) circle (1.5pt);
\draw (11.14,8.68) node {$E$};
\fill [color=black] (6.74,7.83) circle (1.5pt);
\draw[color=black] (6.65,8.11) node {$F$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}}\)

[kerajs]

Tak, wiem. Ale przecież napisałem:

Mam pomysł na konstrukcję, ale nie jest zbyt szybka.

Cóz, czasem gdy dobre pomysły nie przychodzą do głowy i armata sie przydaje.