Krzywa we współrzędnych biegunowych

[Poszukujaca]

Jak narysiwać krzywą daną we współrzędnych biegunowych w kartezjańskim układzie współrzędnych?

Np. \(\displaystyle{ r=3+\cos 4\varphi}\)

[kerajs]

Podstaw:
\(\displaystyle{ r= \sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
do:
\(\displaystyle{ r=3+\cos4 \alpha =4-8(\sin \alpha\cos \alpha)^2}\)

[Poszukujaca]

Ale po wstawieniu, takie coś raczej ciężko narysować. Nie ma innego sposobu?

[kerajs]

Aby krzywą zadaną biegunowo narysować w układzie kartezjańskim musisz mieć równanie zależne od X i Y. Fakt że najczęściej wychodzą skomplikowane równania. Czasem można próbować je upraszczać, choć najczęściej to syzyfowa praca. Użyj programu graficznego. Może wykres zasugeruje (lub nie) postać równania która bedzie ,,ładniejsza'.

W sumie nie ma co sie dziwić skoro prostokąt (w biegunowych) przechodzi w koło (w kartezjańskich), to sinusoida przejdzie pewnie w coś nieprostego.

--------
Zastanawiałem się jak można to zrobić na kolokwim.

Po przekształceniach postać uwikłana tej krzywej to:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2 \sqrt{x^2+y^2}=4(x^4+y^4)}\)
Można tylko stwierdzić że jest ona symetryczna względem osi układu współrzędnych.
Jeśli zamienię niewiadome miejscami to mam tę samą krzywą. czyli jest symetryczna względem y=x . Ze względu na poprzednie symetie można stwierdzić że jej osią symetrii jest też y=-x. Można wstawić za y parę wartości od 0 do pierwiastka z dwóch w celu otrzymania kilku punktów w pierwszej ćwiartce, znaleźć ich obrazy w symetriach i szkicować wykres.
Z użyciem Wolframa wykres z postaci uwikłanej to:
... 2By%5E4%29

Można też tę krzywą przedstawić w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ x=(3+\cos4 \alpha )\cos \alpha \wedge y=(3+\cos4 \alpha )\sin \alpha}\)
Tu można powstawiać parę kątów od 0 do pi/4 aby znależć kilka punktów wykresu. Inne znajdujesz z symetrii i szkicujesz wykres.
Z użyciem Wolframa wykres z postaci parametrycznej
... t%29+sin+t

[a4karo]

Możesz zastosować taką metode: narysuj wykres na prostokącie \(\displaystyle{ (\phi,r)}\), a następnie złóż z tego prostokąta taki wachlarzyk/parasolkę , tak, aby dolną krawędź złączyć w jeden punkt.

[Poszukujaca]

kerajs, tyle dobrze, że na kolokwium można zadziałać przy pomoc współrzędnych parametrycznych

a4karo, ciekawy sposób! Spróbowałam tak zrobić i rzeczywiście wyszło mi podobnie