Konstrukcja odcinka w postaci ułamka z potęgami

[magnes]

Narysuj 2 odcinki. Jeden jest ponad dwa razy dłuższy od drugiego. Przyjmij, że krótszy ma długość \(\displaystyle{ 1}\), a dłuższy długość \(\displaystyle{ a}\). Skonstruuj odcinek, którego długość to \(\displaystyle{ \frac{ a^{2}-4 }{ a^{2}-2a - 3}}\).
Z góry bardzo dziękuję za pomoc!

[kerajs]

Chcąc ułatwić zadanie za odcinek ,,b' wstawiłaś wartość 1, a poszukiwany odcinek x ma wynosić:
\(\displaystyle{ x= \frac{a ^{2}-4 }{a ^{2} -2a-3}}\)

Nietety to ułatwienie uniemożliwia rozwiązanie zadania. Zauważ że składniki sumy w liczniku (jak i w mianowniku ) mają różny wymiar więc są niedodawalne.
Dodatkowo wyrażenie
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}-4 }{a ^{2} -2a-3}= \frac{\left( a-2\right)\left( a+2\right) }{\left( 2+1\right) \left( a-3\right) }}\)
jest dodatnie dla
\(\displaystyle{ x \in \left( 0;2\right) \cup \left( 3; \infty \right)}\).
Wynika z tego że większy odcinek powinien być ponad trzy razy dłuższy od mniejszego.

Podaj pierwotną treść zadania (bez ułatwień).

Przypuszczam że może ona wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
a wtedy konstrukcja sprowadz się do dwóch Talesów.

[norwimaj]

Podaj pierwotną treść zadania (bez ułatwień).

Gdzie te ułatwienia?

Przypuszczam że może ona wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)

Co za różnica? Przecież to jest dokładnie to samo, co wcześniej.

[kerajs]

Podaj pierwotną treść zadania (bez ułatwień).

Gdzie te ułatwienia?

A możesz mi wskazać gdzie w ułamku występuje odcinek długości 1?

Przypuszczam że może ona wyglądać tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)

Co za różnica? Przecież to jest dokładnie to samo, co wcześniej.

Tak patrząc, masz kilka innych dokładnie takich samych wyrażeń co wcześniej:
1)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} ) }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
2)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
3)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b}{a ^{2} -2a-3 }}\)
itd

Umiesz skonstruować choć jeden z nich dla dowolnych odcinków a,b; gdzie a>3b?

Podpowiedź na konstrukcję:
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
podałem, ale mogę ją dokładniej opisać .

[norwimaj]

Mnie jest wszystko jedno, czy długość danego drugiego odcinka nazwę \(\displaystyle{ 1}\), czy \(\displaystyle{ b}\). Ale w tych przykładach:

1)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} ) }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
2)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
3)
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b}{a ^{2} -2a-3 }}\)
itd

musisz mieć dane trzy odcinki: \(\displaystyle{ a,b,1}\), dlatego są to trochę inne zadania.

Podpowiedź na konstrukcję:
\(\displaystyle{ x= \frac{(a ^{2}-4b ^{2} )b }{a ^{2} -2ab-3b ^{2} }}\)
podałem, ale mogę ją dokładniej opisać .

Nie widzę takiej potrzeby. Może kto inny będzie chciał, ale myślę, że tw. Talesa jest powszechnie znane.

[kruszewski]

Chcąc ułatwić zadanie za odcinek ,,b' wstawiłaś wartość 1, a poszukiwany odcinek x ma wynosić:
\(\displaystyle{ x= \frac{a ^{2}-4 }{a ^{2} -2a-3}}\)

Nietety to ułatwienie uniemożliwia rozwiązanie zadania. Zauważ że składniki sumy w liczniku (jak i w mianowniku ) mają różny wymiar więc są niedodawalne.

proponuję skonstruowanie odcinka o długości \(\displaystyle{ a \cdot a+1}\)
Czy będzie to kwadrat z antenką?
W.Kr.