Pokaże, że zbiór tych punktów jest krzywą stożkową.
Rozpatrzmy sobie układ współrzędnych kartezjańskich. Niech \(\displaystyle{ A=1}\) i \(\displaystyle{ C=-1}\). Niech różnica odległości to będzie \(\displaystyle{ d}\).
Pokaże, że zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ \sqrt{y^{2} + (1-x)^{2}}-\sqrt{y^{2} + (1+x)^{2}}=d \vee \sqrt{y^{2} + (1+x)^{2}}-sqrt{y^{2} + (1-x)^{2}}=d}\). Po kilku przekształceniach \(\displaystyle{ \sqrt{y^{2} + (1-x)^{2}}=x/d - d \vee \sqrt{y^{2} + (1-x)^{2}}=-x/d+d}\).
Jest to równoważne \(\displaystyle{ y^{2} + (1-x)^{2}=x^{2}/d^{2} - 2x + d^2}\). Stąd już łatwo widać że jest to krzywa stożkowa. Teraz wystarczy mając już ten trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) dobrać \(\displaystyle{ 5}\) punktów \(\displaystyle{ X_{1}, ... X_{5}}\) tak aby w \(\displaystyle{ ABCX_{i}}\) dało się wpisać okrąg. Te \(\displaystyle{ 5}\) punktów jednoznacznie wyznaczają nam krzywą stożkową. Wystarczy wziąć punkt przecięcia tej krzywej stożkowej z okręgiem opisanym na \(\displaystyle{ ABC}\) (może być więcej niż 1, ale łatwo sprawdzić który jest dobry.).
Konstrukcja czworokąta.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Konstrukcja czworokąta.
Oildale, popraw zapis, bo nie wiem co miejscami masz na myśli więc tego za Ciebie nie zrobię.
Moje pytania: jak dobrać pięć takich punktów? Jak skonstruować krzywą stożkową przechodzącą przez pięć punktów?
Moje pytania: jak dobrać pięć takich punktów? Jak skonstruować krzywą stożkową przechodzącą przez pięć punktów?
Konstrukcja czworokąta.
Nie spodziewałam się, że to będzie tak "gorący" temat Owszem, krzywe stożkowe, to coś, czego w liceum nie ma, pojawia się jedynie w "ciekawostkach", typu, "czy wiesz, że..."
Dzięki za rysunki konstrukcyjne, ale wdzięczna bym była, za jak to (jak w załączniku dodanym przez anna)"łopatologiczne" wyjaśnienie.
Powiedzmy, że ok, niech, że ten pkt się znajduje na środku łuku CA, ale jakieś wyjaśnienie - dlaczego? 244028.htm
P.S Próbowałam to jakoś narysować używając wyłącznie konstrukcji które znam...
Dzięki za rysunki konstrukcyjne, ale wdzięczna bym była, za jak to (jak w załączniku dodanym przez anna)"łopatologiczne" wyjaśnienie.
Powiedzmy, że ok, niech, że ten pkt się znajduje na środku łuku CA, ale jakieś wyjaśnienie - dlaczego? 244028.htm
P.S Próbowałam to jakoś narysować używając wyłącznie konstrukcji które znam...
Ostatnio zmieniony 17 sty 2013, o 22:54 przez Math_s, łącznie zmieniany 1 raz.
Konstrukcja czworokąta.
Ahaaa! ! !... dobra, dzięki wielkie wszystkim za pomoc )-- 17 sty 2013, o 23:05 --aaa właściwie, to nie ... jeszcze jedno...
mógłby ktoś wyjaśnić, dlaczego tak? skąd mam wiedzieć, że mam zrobić trzy okręgi styczne, a potem te proste...
mógłby ktoś wyjaśnić, dlaczego tak? skąd mam wiedzieć, że mam zrobić trzy okręgi styczne, a potem te proste...
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Konstrukcja czworokąta.
Zapomniałam o dowodzie. Oto on:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ASC=\sphericalangle ABC}\) - kąty wpisane w okrąg \(\displaystyle{ o}\) oparte na łuku \(\displaystyle{ AC\ \ \ \to\ \ \ \sphericalangle ASC=\beta}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AEC=\frac12 \sphericalangle CSA}\) - kąt wpisany i środkowy w okręgu \(\displaystyle{ s}\) oparte na łuku \(\displaystyle{ CA}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CSA=360^o-\sphericalangle ASC=360^o-\beta\ \ \ \to\ \ \ \sphericalangle AEC=180^o-\frac{\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ \gamma=180^o-\sphericalangle AEC\ \ \ \to\ \ \ \blue \gamma=\frac{\beta}{2}}\)
czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o\ \ \ \to\ \ \ \delta+\beta=180^o\ \ \ \to\ \ \ \delta=180^o-\beta}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ECD=180^o-\left(\gamma+\delta\right)=180^o-\left( \frac{\beta}{2}+180^o-\beta\right) \ \ \ \to\ \ \ \blue\sphericalangle ECD=\frac{\beta}{2}\black\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ECD=\gamma\ \ \ \to\ \ \ \blue ED=CD}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} AD-CD=AD-ED=AE=AF \\ AF=AB-BF=AB-BC \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \,\ \,\ \to\ \ \ AD-CD=AB-BC\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \to\ \ \ \red AD+BC=AB+CD\black\ \ \ \ \to\ \ \ \ -}\) w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg
\(\displaystyle{ \sphericalangle ASC=\sphericalangle ABC}\) - kąty wpisane w okrąg \(\displaystyle{ o}\) oparte na łuku \(\displaystyle{ AC\ \ \ \to\ \ \ \sphericalangle ASC=\beta}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AEC=\frac12 \sphericalangle CSA}\) - kąt wpisany i środkowy w okręgu \(\displaystyle{ s}\) oparte na łuku \(\displaystyle{ CA}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CSA=360^o-\sphericalangle ASC=360^o-\beta\ \ \ \to\ \ \ \sphericalangle AEC=180^o-\frac{\beta}{2}}\)
\(\displaystyle{ \gamma=180^o-\sphericalangle AEC\ \ \ \to\ \ \ \blue \gamma=\frac{\beta}{2}}\)
czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg \(\displaystyle{ o\ \ \ \to\ \ \ \delta+\beta=180^o\ \ \ \to\ \ \ \delta=180^o-\beta}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ECD=180^o-\left(\gamma+\delta\right)=180^o-\left( \frac{\beta}{2}+180^o-\beta\right) \ \ \ \to\ \ \ \blue\sphericalangle ECD=\frac{\beta}{2}\black\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ECD=\gamma\ \ \ \to\ \ \ \blue ED=CD}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} AD-CD=AD-ED=AE=AF \\ AF=AB-BF=AB-BC \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \,\ \,\ \to\ \ \ AD-CD=AB-BC\ \ \ \to}\)
\(\displaystyle{ \to\ \ \ \red AD+BC=AB+CD\black\ \ \ \ \to\ \ \ \ -}\) w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg
Konstrukcja czworokąta.
Dzięki! ! !
Powiedz proszę jeszcze, dlaczego wyszłaś od tego, że należy zrobić trzy okręgi styczne do siebie? ? ?
Skąd taki, a nie inny, punkt wyjścia ? ? ?
Powiedz proszę jeszcze, dlaczego wyszłaś od tego, że należy zrobić trzy okręgi styczne do siebie? ? ?
Skąd taki, a nie inny, punkt wyjścia ? ? ?
-
bb314
- Użytkownik
- Posty: 871
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Namysłów
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 321 razy
Konstrukcja czworokąta.
Tylko dwa okręgi są styczne (zewnętrznie).
Pierwszy to okrąg \(\displaystyle{ b}\), potrzebny do przeniesienia \(\displaystyle{ BC}\) na \(\displaystyle{ AB}\) dla uzyskania różnicy \(\displaystyle{ AF=AB-BC}\)
Drugi, styczny do niego, okrąg o środku w \(\displaystyle{ A}\), potrzebny do uwzględnienia różnicy \(\displaystyle{ AB-BC}\) na boku \(\displaystyle{ AD}\)
Okrąg \(\displaystyle{ s}\) potrzebny do ustalenia punktu \(\displaystyle{ E}\).
Punktem wyjścia było uzyskanie \(\displaystyle{ AD-CD=AB-BC}\), bo to daje równość \(\displaystyle{ AD+BC=AB+CD}\), która jest warunkiem koniecznym, żeby w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) dało się wpisać okrąg.
Pierwszy to okrąg \(\displaystyle{ b}\), potrzebny do przeniesienia \(\displaystyle{ BC}\) na \(\displaystyle{ AB}\) dla uzyskania różnicy \(\displaystyle{ AF=AB-BC}\)
Drugi, styczny do niego, okrąg o środku w \(\displaystyle{ A}\), potrzebny do uwzględnienia różnicy \(\displaystyle{ AB-BC}\) na boku \(\displaystyle{ AD}\)
Okrąg \(\displaystyle{ s}\) potrzebny do ustalenia punktu \(\displaystyle{ E}\).
Punktem wyjścia było uzyskanie \(\displaystyle{ AD-CD=AB-BC}\), bo to daje równość \(\displaystyle{ AD+BC=AB+CD}\), która jest warunkiem koniecznym, żeby w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) dało się wpisać okrąg.