Witam, to mój pierwszy post.
Wiem, nie jestem szaleńcem aby robić coś, czego się nie da (chociaż, uczciwie przyznaję, wciąż nie rozumiem dowodu tego faktu), niemniej jednak wydaje mi się, że - korzystając z tych nielicznych kątów, w których taka konstrukcja jest możliwa - wpadłem na pewien trop odnośnie warunków tego, aby wydzielić pewną klasę kątów "trójsekcjonowalnych".
Zacznijmy od tego, jakie kąty możemy "legalnie" podzielić na trzy. Są to z pewnością kąty 90 i 108 stopni. Co więcej, połówki tych kątów też możemy podzielić na trzy. Dla przykładu aby podzielić kąt 45 stopni na trzy części, dzielę kąt 90 na trzy części, a każdą z tych części na dwie (dwusieczną) - w ten sposób dostaję 6 równych części, wybieram trzy i mam podzielony kąt 45 stopni na trzy kąty po 15.
Korzystając z tego rozumowania widzę, że bez problemu mogę podzielić nie tylko kąty 90 i 108, ale także kąty o połowę mniejsze, ich ćwiartki, ósemki itp. Podobnym rozumowaniem mogę dzielić też kąty będące wielokrotnościami kątów 90, 72 i 108.
Zajmijmy się kątem 108. Ograniczając się do przedziału (0,180) oraz liczb całkowitych dzięki dokonaniu trysekcji i bisekcji mogę otrzymać z niego następujące kąty:
108 na trzy = 36
36 na dwa = 18
18 na dwa = 9
Teraz przyjrzyjmy się kątowi 90 stopni:
90 na trzy = 30
30 na dwa = 15
Poniewaz otrzymać możemy zarówno kąt 15, jak i 9, to dzięki dodawaniu i odejmowaniu kątów możemy otrzymać w zasadzie każdy kąt będący ich kombinacją liniową, dla przykładu:
33 stopnie = 15 + 2 * 9
21 stopni =15 *2 - 9
12 stopni = 15*3 - 2*9
itd.
W szczególności zwracam uwagę na kąt 3 stopni - możemy go otrzymać jako kombinację 2*9 - 15.
Zatem konstruowalny jest dowolny kąt o mierze będącej wielokrotnością trzech.
I tu dochodzimy do meritum. Skoro skonstruować możemy kąty 3 stopnie, to w takim razie kąt 9 stopni możemy dzielić na trzy. Co więcej: możemy podzielić na trzy dowolny kąt o mierze będącej wielokrotnością 9 stopni.
I tu tylko jedno proste pytanie: czy mam rację?
O trysekcji kąta raz jeszcze
O trysekcji kąta raz jeszcze
To akurat najmniejszy problem: najpierw wyznaczam kąt 60 stopni (np. rysując trójkąt równoboczny)
Odkładam go na kącie 90 stopni - dzielę w ten sposób go na dwa kąty: 60 i 30. Następnie tworzę dwusieczną kąta 60 stopni - i mam trzy kąty po 30 stopni.
Odkładam go na kącie 90 stopni - dzielę w ten sposób go na dwa kąty: 60 i 30. Następnie tworzę dwusieczną kąta 60 stopni - i mam trzy kąty po 30 stopni.