podział kąta

[withdrawn]

Czy kąt \(\displaystyle{ 120^{o}}\) można podzielić przy pomocy cyrkla i linijki na \(\displaystyle{ 3, 5, 15}\) równych części?

[ares41]

Rozważ rozkładalność wielomianu \(\displaystyle{ 4x^3-3x-\cos 120^{\circ}}\) w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\cos 120^{\circ})}\)

[BlueSky]

W ten sposób byśmy pokazali, że można/nie można wykonać trysekcji kąta, a jak zrobić z podziałem na 5 i 15 równych części?

[marcinz]

Zauważmy, że kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) jest konstruowalny (gdybyśmy go na początku nie mieli). Podział na \(\displaystyle{ 5}\) części dałby kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{15}}\), natomiast na 15 części dałby kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{45}}\), a to oznaczałoby, że konstruowalne są \(\displaystyle{ 15-,45-}\)kąt foremny odpowiednio (wystarczy rozważyć kąt o wierzchołku w środku tego wielokąta i ramionach poprowadzonych do sąsiednich wierzchołków). Wiadomo, że \(\displaystyle{ n-}\)kąt foremny jest konstruowalny dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ n>2}\) oraz \(\displaystyle{ n=2^a p_1 p_2\ldots p_r}\), gdzie \(\displaystyle{ a\geq 0,r\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ p_1,\ldots,p_r}\) są różnymi liczbami pierwszymi Gaussa.

[BlueSky]

Wyszło mi, że trysekcja jest niewykonalna, pięciosekcja jest wykonalna (bo można skonstruować 15-kąt foremny, bo \(\displaystyle{ 15=3 \cdot 5}\)), na 15 części go nie można podzielić, bo nie można skonstruować 45-kąta foremnego. Czy dobrze myślę?