podział kąta
podział kąta
W ten sposób byśmy pokazali, że można/nie można wykonać trysekcji kąta, a jak zrobić z podziałem na 5 i 15 równych części?
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
podział kąta
Zauważmy, że kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}}\) jest konstruowalny (gdybyśmy go na początku nie mieli). Podział na \(\displaystyle{ 5}\) części dałby kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{15}}\), natomiast na 15 części dałby kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{45}}\), a to oznaczałoby, że konstruowalne są \(\displaystyle{ 15-,45-}\)kąt foremny odpowiednio (wystarczy rozważyć kąt o wierzchołku w środku tego wielokąta i ramionach poprowadzonych do sąsiednich wierzchołków). Wiadomo, że \(\displaystyle{ n-}\)kąt foremny jest konstruowalny dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ n>2}\) oraz \(\displaystyle{ n=2^a p_1 p_2\ldots p_r}\), gdzie \(\displaystyle{ a\geq 0,r\geq 0}\) oraz \(\displaystyle{ p_1,\ldots,p_r}\) są różnymi liczbami pierwszymi Gaussa.
podział kąta
Wyszło mi, że trysekcja jest niewykonalna, pięciosekcja jest wykonalna (bo można skonstruować 15-kąt foremny, bo \(\displaystyle{ 15=3 \cdot 5}\)), na 15 części go nie można podzielić, bo nie można skonstruować 45-kąta foremnego. Czy dobrze myślę?