podział kąta na 6 równych części

[BlueSky]

Niech \(\displaystyle{ \phi}\) będzie kątem spełniającym \(\displaystyle{ \cos\phi= \frac{ \sqrt{3} }{4}}\). Czy kąt \(\displaystyle{ \phi}\), przy pomocy cyrkla i linijki, można podzielić na 6 równych części?

[anna_]

Z tego co mi wiadomo trysekcja kąta przy pomocy linijki i cyrkla nie jest możliwa.

[Marcinek665]

Zgodnie z teorią Galois, jest możliwa, jeśli wielomian \(\displaystyle{ 4x^3 - 3x - \cos \varphi}\) jest rozkładalny nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\left[ \cos \varphi \right]}\). Tutaj już mamy wartość cosinusa, więc sytuacja się upraszcza. Dalej nie pomogę, bo mam zbyt mało wiedzy.

[BlueSky]

Hm... Czyli wystarczy pokazać, że można/nie można podzielić kąt na 3 równe części, tak jak napisał Marcinek665, a z tego później wynika, że można/nie można podzielić na 6 części. Dobrze myślę?

[Marcinek665]

Tak, bo jak podzielisz na \(\displaystyle{ 3}\) części, to potem możesz je podzielić jeszcze na \(\displaystyle{ 2}\), a w efekcie dostaniesz podział na \(\displaystyle{ 6}\) części. Kluczowe jest rozstrzygnięcie rozkładalności, o której wspomniałem.

[Lorek]

Zgodnie z teorią Galois, jest możliwa, jeśli wielomian \(\displaystyle{ 4x^3 - 3x - \cos \varphi}\) jest rozkładalny nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}\left[ \cos \varphi \right]}\).

Co w naszym przykładzie sprowadza się do sprawdzenia czy wielomian \(\displaystyle{ 4x^3-3x-\frac{\sqrt{3}}{4}}\) ma pierwiastek postaci \(\displaystyle{ a+b\frac{\sqrt{3}}{4},\ a,b\in\mathbb{Q}}\) (no, nie tylko, ale jak nie ma takiego pierwiastka to na pewno nie jest rozkładalny, a chyba nie ma).

[BlueSky]

Już wszystko rozumiem, dziękuję za pomoc.