Konstrukcja z wykorzystaniem tw. Talesa

[akytametam]

Dany jest kąt ostry \(\displaystyle{ AOB}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) należący do wnętrza tego kąta. Skonstruować trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ PQR}\) taki, że \(\displaystyle{ Q \in OB , \ R \in OA, \ \left| RQ\right|=\left| PQ\right|}\) i \(\displaystyle{ RQ \perp OA}\).

[dzialka11o]

Proponuje konstrukcje jedną z wielu , ale w oparciu o tw. Talesa .
Krok po kroku :
1) łączymy punkt \(\displaystyle{ P}\) z wierzchołkiem kąta \(\displaystyle{ O}\)
2) wybieramy dowolny punkt na prostej \(\displaystyle{ OB}\) (ramienia kata) - jako \(\displaystyle{ N}\)
3) z znowego punktu \(\displaystyle{ N}\) na prostej \(\displaystyle{ OB}\) rysujemy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ OA}\)
otrzymujemy nowy punkt \(\displaystyle{ M}\) na prostej \(\displaystyle{ OA}\) , (z założenia jak w zadaniu )
4) z punktu \(\displaystyle{ N}\) o promieniu \(\displaystyle{ r= NM}\) zakreślamy koło (styczne w \(\displaystyle{ M}\) ),
5) koło to przecina prostą \(\displaystyle{ OP}\) w nowym punkcie \(\displaystyle{ T}\)
i prostą \(\displaystyle{ OB}\) w punkciw \(\displaystyle{ S}\) , / oraz \(\displaystyle{ Y}\) ( bliżej punktu \(\displaystyle{ O}\) )/
6) łączymy punkty \(\displaystyle{ T}\) z \(\displaystyle{ M}\) ( należace do koła o promieniu \(\displaystyle{ r = NM}\))
prosta \(\displaystyle{ TM}\) ( to cięciwa tego koła o promieniu \(\displaystyle{ = r}\))
7) symetralna cieciwy \(\displaystyle{ TM}\) przwchodzi zawsze przez srodek koła w \(\displaystyle{ N}\)
(przechodzacego przez punkty \(\displaystyle{ M, T, S}\) o promieniu \(\displaystyle{ r = NM}\))
( symetralna cieciwy \(\displaystyle{ TS}\) też przechodzi przez środek koła w \(\displaystyle{ N}\))
stąd \(\displaystyle{ NM= NT= NS= NY= r}\)
8) z punktu \(\displaystyle{ P}\) jak w zadaniu rysujemy prosta równoległą do prostej
przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ TM}\) ( lub prostej równoległej do \(\displaystyle{ TN}\) )
Tu widoczne jest Twierdzenie Talesa
Ta prosta z \(\displaystyle{ P}\) równoległa do prostej \(\displaystyle{ TM}\) przecina ramie kąta \(\displaystyle{ OA}\)
w punkcie \(\displaystyle{ W}\)
9) otóż symetralna prostej \(\displaystyle{ PW}\) przecina prosta \(\displaystyle{ OB}\) w \(\displaystyle{ Z}\)
Punkt \(\displaystyle{ Z}\) stanowi rozwiazanie zadania , gdyż \(\displaystyle{ ZW}\) jest równoległa
\(\displaystyle{ NM}\) ( lub inaczej z punktu \(\displaystyle{ W}\) prowadzimy prostopadła do \(\displaystyle{ OA}\) ,
która przecina \(\displaystyle{ OB}\) tez w punkcie \(\displaystyle{ Z}\))
10) z powyższego wynika że otrzymany trójkat \(\displaystyle{ PWZ}\) jest podobny do
trójkata \(\displaystyle{ TMN}\) w skali \(\displaystyle{ =k}\))
Stąd na mocy tw. Talesa zachodzi \(\displaystyle{ \frac{ON}{OZ} = \frac{OM}{OW} = \frac{OT}{OP}= k}\)
Szukany punkt \(\displaystyle{ W}\) to podstawa trójkata równobocznego także
\(\displaystyle{ PZ=ZW}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ON}{OZ} = \frac{TN}{PW} =k = \frac{NM}{ZW}}\)
( Obraz trójkata \(\displaystyle{ TNM}\) i trójkąta \(\displaystyle{ PZW}\) jest w skali \(\displaystyle{ = k}\) )
c.n.u .
{Ciekawostka : Kąt \(\displaystyle{ STY}\) jest kątem prostym = 90st..
odpowiednio też zachodzi dla koła o promieniu \(\displaystyle{ r'= ZW}\) z punktu \(\displaystyle{ Z}\) }
{ w przypadku koniecznosci możliwe jest dołaczenie rysunku do
powyższego opisu }

Na marginesie : poszukuję dociekliwych graczy w bilarda okragłego ,
tylko cyrklem i linijką , na skrawku papier ; to będzie ciekawa
dydaktyczna gra , z zakresu konstrukcyjnego .
z dwoma piłeczkami geometrycznie punktowymi , w oparciu
o równie ciekawe tw . o dwusiecznej kąta w trójkacie .( Apoloniusz )

W.T.