Trysekcja kąta

[scyth]

Czyli twierdzisz, że dla dowolnego punktu na tej prostej dostajesz trysekcję kąta? Przecież to nieprawda - zauważ, że gdy weźmiesz taki punkt na prostej, żeby wewnętrzne punkty tworzyły z nim trójkąt równoboczny, to wówczas dwa trójkąty zewnętrzne też musiałyby być równoboczne, a to jest niemożliwe, bo jest to ośmiokąt a nie sześciokąt.

[timon92]

Czyli twierdzisz, że dla dowolnego punktu na tej prostej dostajesz trysekcję kąta? Przecież to nieprawda - zauważ, że gdy weźmiesz taki punkt na prostej, żeby wewnętrzne punkty tworzyły z nim trójkąt równoboczny, to wówczas dwa trójkąty zewnętrzne też musiałyby być równoboczne, a to jest niemożliwe, bo jest to ośmiokąt a nie sześciokąt.

nie musiałyby być

można pokazać, że ta konstrukcja daje trysekcję tylko dla punktu na okręgu lub środka okręgu, akurat mam chwilę czasu to napiszę zaraz dowód

[scyth]

No tak, w zasadzie od razu można wskazać jakie musiałyby być to trójkąty (z racji ośmiościanu). Tak czy siak łatwo można wskazać punkty, dla których brak trysekcji jest oczywista.

[MrChroome]

To wskaż te punkty. Jestem wzrokowcem, więc muszę się o tym przekonać w ten sposób (ale i tak większości rzeczy nie rozumiem).

[yorgin]

Moja próba trysekcji losowego kąta.

[timon92]

To wskaż te punkty. Jestem wzrokowcem, więc muszę się o tym przekonać w ten sposób (ale i tak większości rzeczy nie rozumiem).

Wszystkie punkty poza tymi dwoma o których pisałem są kontrprzykładami

Poniżej obiecany dowód.

Lemat. Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym \(\displaystyle{ \angle ABD = \angle DBC}\) oraz \(\displaystyle{ AD=DC}\). Wówczas prosta \(\displaystyle{ BD}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ AC}\) lub czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) daje się wpisać w okrąg.

Dowód lematu. Jeśli \(\displaystyle{ AB=BC}\) to \(\displaystyle{ BD}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ AC}\) (bo \(\displaystyle{ AB=BC}\) oraz \(\displaystyle{ AD=DC}\).

Jeśli \(\displaystyle{ AB \neq BC}\) to \(\displaystyle{ AB<BC}\) lub \(\displaystyle{ AB>BC}\). Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ AB<BC}\) (dowód w drugim przypadku przebiega identycznie). Odbijmy punkt \(\displaystyle{ A}\) symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ BD}\) i oznaczmy odbicie przez \(\displaystyle{ E}\). Wówczas trójkąty \(\displaystyle{ DAB, DEB}\) są przystające, w szczególności \(\displaystyle{ \angle ABD = \angle DBE}\), \(\displaystyle{ AB=BE}\) i \(\displaystyle{ AD=DE}\). Zatem \(\displaystyle{ E}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ BC}\) (bo \(\displaystyle{ \angle DBE = \angle ABD = \angle DBC}\) oraz \(\displaystyle{ BE = AB < BC}\)). Poza tym \(\displaystyle{ DE=DA=DC}\), czyli trójkąt \(\displaystyle{ DCE}\) jest równoramienny, więc \(\displaystyle{ \angle ECD = \angle DEC}\). Zatem \(\displaystyle{ \angle BCD + \angle DAB = \angle ECD + \angle BED = \angle ECD + \angle DEC = 180^\circ}\). Punkty \(\displaystyle{ A,C}\) leżą po różnych stronach prostej \(\displaystyle{ BD}\), więc ostatnia równość oznacza że punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leżą na okręgu.

Twierdzenie. Powyższa konstrukcja daje trysekcję tylko dla środka danego okręgu i punktu leżącego na danym okręgu.

Dowód. Posiłkuję się rysunkiem MrChroome'a. Oznaczmy kolejne wierzchołki ośmiokąta literami \(\displaystyle{ A,B,C,D,E,F,G,H}\) tak, że te cztery punkty po lewej to \(\displaystyle{ A,B,C,D}\). Weźmy punkt \(\displaystyle{ P}\) na prostej poziomej i załóżmy, że \(\displaystyle{ \angle APB = \angle BPC = \angle CPD}\). Czworokąt \(\displaystyle{ ABCP}\) spełnia założenia lematu, więc czworokąt \(\displaystyle{ ABCP}\) jest wpisany w okrąg lub \(\displaystyle{ BP}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ AC}\). W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ P}\) leży na naszym okręgu. W drugim przypadku leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AC}\) oraz na prostej poziomej czyli na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ BC}\), czyli jest środkiem naszego okręgu.

[MrChroome]

Panie yorgin prosiłbym o dokonanie trysekcjikonta o mniejszej rozwartości niż 135stopni (dokonałem kolejnych pomiarów i wyszło mi, że kąty większe od 135stopni są "niestrysekcjonowalne" moją metodą.

[yorgin]

Bez różnicy.

[MrChroome]

No cóż... W następne wakacje spróbuję po raz kolejny ^^.

[yorgin]

Próbować możesz, jednak jak pisałem wcześniej:

nie da się dokonać trysekcji dowolnego kąta używając wyłącznie cyrkla i linijki

[MadJack]

MrChroome, skoro lubisz bawić się w konstrukcje, poszukaj sobie jakichś, które są do rozwiązania Wyszła Ci całkiem ciekawa konstrukcja, ale tak jak pisali inni- udowodniono, że trysekcja dowolnego kąta jest niemożliwa do wykonania za pomocą cyrkla i linijki. Zatem, zamiast siedzieć bezproduktywnie nad trysekcją, spróbuj rozwijać się podczas zmagań z konstrukcjami, które jesteś w stanie wykonać

[kruszewski]

Problem trysekcji kąta jest rozstrzygnięty . Świetnie o tym pisze w:
"Trzy słynne problemy starożytnych Greków" autorstwa Andrzeja Strojnowskiego. Rozdział VI, strona 42 i dalsze.
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1995. ISBN 83-02-05348.

W.Kr.

[AiDi]

Kolegom wyżej chodzi o to, że nie da się dokonać trysekcji dowolnego kąta używając wyłącznie cyrkla i linijki.

To po co to całe forum???

No między innymi po to, żeby uświadamiać takie osoby jak ty, że nie da się wykonać trysekcji dowolnego kata używając wyłącznie cyrkla i linijki. Ja nie rozumiem, czemu tak ciężko przyjąć to do wiadomości?

[dzialka11o]

Trysekcja Kąta dowolnego w oparciu o miarę łukową jest mozliwa i wykonalna
metodą konstrukcyjną ;
To dość ciekawe spostrzeżenie . Wymaga wielkiej wiedzy i umiejetnosci .
Dochodziłem do tego prawie dziesieć lat .
Niebawem to przedstawię . Troszkę cierpliwości .
Puki co proponuję zapoznać się z "puktem Morleya ".
( szukaj : Morley center ).
i Twierdzeniem Morleya .
Tu nasuną sie ciekawe zależności .
Życzę powodzenia : Warto próbować .
Zainteresowanym podaję swój roboczy mail kontaktowy .
{ alina12345@pocztaonet.pl }
Nie sposób to przedłożyć w tym małym okienku .
T.W.

[AiDi]

Trysekcja Kąta dowolnego w oparciu o miarę łukową jest mozliwa i wykonalna
metodą konstrukcyjną ;
To dość ciekawe spostrzeżenie . Wymaga wielkiej wiedzy i umiejetnosci .
Dochodziłem do tego prawie dziesieć lat .

Nie jest możliwa i zostało to już dawno temu UDOWODNIONE. Bądź łaskaw najpierw wskazać błąd w tym dowodzie, bo inaczej dalsza dyskusja jest bez sensu.
Rozumiem, że osoba mająca 15 lat może mieć problem, żeby to zrozumieć, ale 67 lat? Coś chyba jest nie tak