Ale w tym zadaniu właśnie przyjęto, że konstrukcje wykonujemy za pomocą samego cyrkla, o czym świadczą posty:
bogus89 pisze:ale nie mogę do tego używać linijki!
Inkwizytor pisze:znaczy jak? nawet linijki bez podziałki?
bogus89 pisze:tak
No i rzeczywiście każdą konstrukcję za pomocą cyrkla i linijki da się zrobić za pomocą samego cyrkla. Już pokazałem, że da się skonstruować środek odcinka. Jeśli ktoś chce samodzielnie pomyśleć nad następnym lematem, to niech to będzie: dla danych punktów \(\displaystyle{ A,B,C}\) niewspółliniowych da się skonstruować środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\).
Wskazówka:
Ukryta treść:
Przekształcić symetralne boków \(\displaystyle{ AB, AC}\) w inwersji względem jakiegoś okręgu o środku w \(\displaystyle{ A}\).
Ośmiokąt jest wielokątem, zatem ma wnętrze. Jak rysując tylko punkty i odcinki zamalujesz całe wnętrze ośmiokąta?
Poza tym, czy to trudno zrozumieć, że autorka tematu może mieć większe ambicje niż narysowanie ośmiokąta za pomocą cyrkla i linijki?
Twierdzisz że treść jest niedoprecyzowana, ale jak wprowadzisz swoją poprawkę do treści, to otrzymujesz problem, który już w starożytności nie był dla matematyków wielkim wyzwaniem.
Niech XY oznacza okrąg o środku w X przechodzący przez Y.
Konstrukcja:
1. Rysujemy OA
2. Rysujemy AO - jeden z dwóch punktów przecięcia tych (prostopadłych) okręgów oznaczmy B.
3. Rysyjemy BA - punkt przecięcia BA z AO oznaczamy różny od O oznaczamy C.
4. Rysyjemy CA - punkt przecięcia CA z AO oznaczamy różny od B oznaczamy D.
5. Rysujemy OC i DB - jeden z punktów przecięcia tych okręgów oznaczamy E
6. Rysujemy AE. Jeden z punków przecięcia AE z OA oznaczamy F.
Punkty A,F są wierzchołkami kwadratu wpisanego w OA.
Oto rysunek:
Wystarczy więc podzielić na pół łuk okręgu OA o końcach w punktach A,F.
1. Rysujemy okrąg o środku w O i promieniu długości równej odległosci między A a F.
2. Rysujemy FO. Jeden z punktów, nazwijmy go G, przecięcia okręgu z poprzedniego kroku z okręgiem FO jest taki, że OAFG jest równoległobokiem (ten dalszy od A).
3. Podobnie otrzymujemy punkt H będacy przecięciem okręgu z 1. z okręgiem AO takim, że AHOF jest równoległobokiem (przystającym do AOGF zresztą)
4. Rysujemy HF i GA - jeden z ich punktów przecięcia oznaczamy I.
5. Rysujemy okręgi (jeden starczy) o środkach w G i H i promieniu równemu odległości pomiędzy O a I.
Oto rysunek:
Tak się przyjemnie składa, że okręgi skonstruowane w 5. przecinają się na okręgu OA w punkcie J, który jest środkiem łuku pomiędzy A a F. W ten sposób konstrukcja zakończona. Pozostaje drobna formalność w postaci uzasadnienia konstrukcji.
Ideę pierwszej części konstrukcji łatwiej zrozumieć założywszy, że mamy na boku odcinki długości równej długościom przekątnych sześciokąta i próbujemy z nich zmontować \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).
Drugą część konstrukcji można nieco uprościć trzymając sobie na boku odcinki długości przekątnych sześciokąta foremnego i w razie potrzeby z nich korzystać, ale wtedy rysunek brzydszy. Idea bardzo podobna do konstrukcji środka odcinka kilka postów wyżej.
Walka z ograniczeniem 500 pixeli dla rysunków to fantastyczne zajęcie...
